RS编码和纠错算法

13.2 RS编码和纠错算法

13.2.1. GF(2^m)域

RS(Reed-Solomon)码在伽罗华域(Galois Field，GF)中运算的，因此在介绍RS码之前先简要介绍一下伽罗华域。

CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属于GF(2^m) = GF(2⁸)中的元素或称符号。GF(2⁸)表示域中有256个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式P(x)生成。本原多项式的特性是得到的余式等于0。CD-ROM用来构造GF(2⁸)域的是

(13－1)
而GF(2⁸)域中的本原元素为

α = (0 0 0 0 0 0 1 0)

下面以一个较简单例子说明域的构造。

[例13.1] 构造GF(2³)域的本原多项式假定为

α定义为 = 0的根，即

α³＋α＋1 = 0
和 α³ = α＋1

GF(2³)中的元素可计算如下：

0	mod(α3＋α＋1) = 0
α0	mod(α3＋α＋1) = α0 = 1
α1	mod(α3＋α＋1) = α1
α2	mod(α3＋α＋1) = α2
α3	mod(α3＋α＋1) = α＋1
α4	mod(α3＋α＋1) = α2＋α
α5	mod(α3＋α＋1) = α2＋α1＋1
α6	mod(α3＋α＋1) = α2＋1
α7	mod(α3＋α＋1) = α0
α8	mod(α3＋α＋1) = α1
……

用二进制数表示域元素得到表13-01所示的对照表

表13-01 GF(2³)域中与二进制代码对照表,

GF(23)域元素	二进制对代码
0	(000)
α0	(001)
α1	(010)
α2	(100)
α3	(011)
α4	(110)
α5	(111)
α6	(101)

这样一来就建立了GF(2³)域中的元素与3位二进制数之间的一一对应关系。用同样的方法可建立GF(2⁸)域中的256个元素与8位二进制数之间的一一对应关系。在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行。现仍以GF(2³)域中运算为例：

加法例：α⁰＋α³ = 001＋011

= 010 = α¹

减法例：与加法相同

乘法例：α⁵·α⁴ = α^{(5＋4) mod7}

= α²

除法例：α⁵/α³ = α²

α³/α⁵ = α^－2

= α^(－2＋7)

= α⁵

取对数：log(α⁵) = 5

这些运算的结果仍然在GF(2³)域中。

13.2.2 RS的编码算法

RS的编码就是计算信息码符多项式除以校验码生成多项式之后的余数。

在介绍之前需要说明一些符号。在GF(2^m)域中，符号(n，k)RS的含义如下：

m	表示符号的大小，如m = 8表示符号由8位二进制数组成
n	表示码块长度，
k	表示码块中的信息长度
K=n－k = 2t	表示校验码的符号数
t	表示能够纠正的错误数目

例如，(28，24)RS码表示码块长度共28个符号，其中信息代码的长度为24，检验码有4个检验符号。在这个由28个符号组成的码块中，可以纠正在这个码块中出现的2个分散的或者2个连续的符号错误，但不能纠正3个或者3个以上的符号错误。

对一个信息码符多项式，RS校验码生成多项式的一般形式为

(13－2)
式中，m₀是偏移量，通常取K₀ = 0或K₀ = 1，而(n-k)≥2t (t为要校正的错误符号数)。

下面用两个例子来说明RS码的编码原理。

[例13.2] 设在GF(2³)域中的元素对应表如表13-01所示。假设(6，4)RS码中的4个信息符号为m₃、m₂、m₁和m₀，信息码符多项式为

(13－3)
并假设RS校验码的2个符号为Q₁和Q₀，的剩余多项式为

这个多项式的阶次比的阶次少一阶。

如果K₀ = 1，t = 1，由式(13－2)导出的RS校验码生成多项式就为

= (13－4)
根据多项式的运算，由式(13－3)和式(13－4)可以得到

m₃x⁵＋m₂x⁴＋m₁x³＋m₀x²＋Q₁x＋Q₀ = (x－α)(x－α²)Q(x)

当用x = α和x = α²代入上式时，得到下面的方程组，

经过整理可以得到用矩阵表示的(6，4)RS码的校验方程：

求解方程组就可得到校验符号：

在读出时的校正子可按下式计算：

　

[例13.3] 在例13.2中，如果K₀ = 0，t = 1，由式(13－2)导出的RS校验码生成多项式就为

= (13－5)
根据多项式的运算，由(13－3)和(13－5)可以得到下面的方程组：

方程中的αⁱ也可看成符号的位置，此处i = 0，1，…，5。

求解方程组可以得到RS校验码的2个符号为Q₁和Q₀，

(13－6)

假定m_i为下列值：

信息符号	m3 = α0 = 001 m2 = α6 = 101 m1 = α3 = 011 m0 = α2 = 100
校验符号	Q1 = α6 = 101 Q0 = α4 = 110
校正子	s0 = 0 s1 = 0

代入(13－6)式可求得校验符号：

Q₁ = α⁶ = 101

Q₀ = α⁴ = 110

13.2.3 RS码的纠错算法

RS码的错误纠正过程分三步： (1)计算校正子(syndrome)，(2)计算错误位置，(3)计算错误值。现以例13.3为例介绍RS码的纠错算法。

校正子使用下面的方程组来计算：

为简单起见，假定存入光盘的信息符号m₃、m₂、m₁、m₀和由此产生的检验符号Q₁、Q₀均为0，读出的符号为m₃′、m₂′、m₁′、m₀′、Q₁′和Q₀′。

如果计算得到的s₀和s₁不全为0，则说明有差错，但不知道有多少个错，也不知道错在什么位置和错误值。如果只有一个错误，则问题比较简单。假设错误的位置为α_x，错误值为m_x，那么可通过求解下面的方程组：

得知错误的位置和错误值。

如果计算得到s₀ = α²和s₁ = α⁵，可求得α_x = α³和m_x = α²，说明m₁出了错，它的错误值是α²。校正后的m₁ = m₁′＋m_x ，本例中m₁=0。

如果计算得到s₀ = 0，而s₁≠0，那基本可断定至少有两个错误，当然出现两个以上的错误不一定都是s₀ = 0和s₁≠0。如果出现两个错误，而又能设法找到出错的位置，那么这两个错误也可以纠正。如已知两个错误和的位置和，那么求解方程组：

就可知道这两个错误值。

CD-ROM中的错误校正编码CIRC和里德-索洛蒙乘积码(Reed Solomon Product－like Code，RSPC)就是采用上述方法导出的。