|
数之魅惑：费马大定理358年传奇
悬案
费马大定理本身从提出到证明的过程，就是一部不折不扣的惊险小说。 一个读者，在自己读过的书的空白处留下附注。除了他自己之外，还有谁会关注呢? 但是，法国人费马死后，他在一本《算术》书上所写的注记并没有随之湮没。其长子意识到那些草草的字迹也许有其价值，就用5年的时间进行整理，然后印出一册特殊的《算术》版本，载有他父亲所写的边注，那里面包含了一系列的定理。 在靠近问题8的页边处，费马写着这么几句话：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。” 这个喜欢恶作剧的天才，又在后面写下一个附加的评注：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。” 费马写下这几行字大约是在1637年，这些被侥幸发现的蛛丝马迹成了其后所有数学家的不幸。一个高中生就可以理解的定理，成了数学界最大的悬案，从此将那些世界上最聪明的头脑整整折磨了358年。一代又一代的数学天才前赴后继，向这一猜想发起挑战。 欧拉，18世纪最伟大的数学家之一，在那本特殊版本的《算术》中别的地方，发现费马隐蔽地描述了对4次幂的一个证明。欧拉将这个含糊不清的证明从细节上加以完善，并证明了3次幂的无解。但在他的突破之后，仍然有无数多次幂需要证明。 等到索非•热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔•拉梅等几个法国人再次取得突破时，距离费马写下那个定理已经过去了将近200年，而他们才仅仅又证明了5次幂和7次幂。 事实上拉梅已经宣布他差不多就要证明费马大定理了，另一位数学家柯西也紧随其后说，要发表一个完整的证明。然而，一封来信粉碎了他们的信心：德国数学家库默尔看出这两个法国人正在走向同一条逻辑的死胡同。 在让两位数学家感到羞耻的同时，库默尔也证明了费马大定理的完整证明是当时的数学方法不可能实现的。这是数学逻辑的光辉一页，也是对整整一代数学家的巨大打击。 20 世纪，数学开始转向各种不同的研究领域并取得非凡进步。1908年，德国实业家沃尔夫斯凯尔为未来可能攻克费马大定理的人设立了奖金，但是，一位不出名的 数学家却似乎毁灭了大家的希望：库特•哥德尔提出不可判定性定理，对费马大定理进行了残酷的表达——这个命题没有任何证明。 尽管有哥德尔致命的警告，尽管经受了三个世纪壮烈的失败，但一些数学家仍然冒着白白浪费生命的风险，继续投身于这个问题。二战后随着计算机的出现，大量的计 算已不再成为问题。借助计算机的帮助，数学家们对500以内，然后在1000以内，再是10000以内的值证明了费马大定理，到上世纪80年代，这个范围 提高到25000，然后是400万以内。 但是，这种成功仅是表面的，即使那个范围再提高，也永远不能证明到无穷，不能宣称证明了整个定理。破案似乎遥遥无期。 1963年，一个年仅10岁的男孩安德鲁•怀尔斯(AndrewWiles)在一本名叫《大问题》的书中邂逅费马大定理，便知道自己永远不会放弃它，必须解决它。没人想到，32年后，他会成为破解费马大定理最后的英雄。 70年代，安德鲁•怀尔斯在剑桥大学研究椭圆方程，看来与费马大定理没什么关系。 此时，两位日本数学家已经提出谷山－志村猜想，将怀尔斯正在研究的椭圆方程与模形式统一在一起。看来也与费马大定理没什么关系。 80年代，几位数学家将17世纪最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在一起，找出了证明费马大定理的钥匙：只要能证明谷山－志村猜想，就自动证明了费马大定理。 曙光在前，但并没有人对黎明的到来抱有信心，谷山－志村猜想已经被研究了30年，都以失败告终，如今与费马大定理联系在一起，更是连最后的希望都没有了，因为，任何可能导致解决费马大定理的事情根据定义是根本不可能实现的——这几乎已成定论。 就连发现钥匙的关键人物肯•里贝特也很悲观：“我没有真的费神去试图证明它，甚至没有想到过要去试一下。”大多数其他数学家，包括安德鲁•怀尔斯的导师约翰•科茨，都相信做这个证明会劳而无功：“我必须承认我认为在我有生之年大概是不可能看到它被证明了。” 曾经有人问伟大的逻辑学家大卫•希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“我没有那么多时间去浪费在一件可能会失败的事情上。” 但安德鲁•怀尔斯会。他意识到自己的机会不大，但即使最终没能证明费马大定理，他也觉得自己的努力不会白费。他花了18个月的时间为将来的战斗收集必要的武器，然后得出全面估计：任何对这个证明的认真尝试，很可能需要10年的专心致志的努力。 怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作，在完全保密的状态下，独自展开了对这个困扰世间智者300多年的谜团的挑战，妻子是惟一知道他在从事费马问题研究的人。 苦心孤诣的安德鲁•怀尔斯经过7年专心努力，完成了谷山－志村猜想的证明。1993年6月23日，在剑桥牛顿研究所，他开始了上世纪最重要的一次数学讲座， 每一个对费马大定理证明作出过贡献的人实际上都在现场的房间里，两百名数学家被惊呆了，他们看到的是300多年来第一次，费马的挑战被征服。 怀尔斯写上费马大定理的结论，然后转向听众，平和地说：“我想我就在这里结束。”会场上爆发出经久不息的掌声，第二天，数学家第一次占据了报纸的头版头条。 《人物》杂志将他与黛安娜王妃、奥普拉一起列为“本年度25位最具魅力者”之一，一家时装公司还请这位温文尔雅的天才为他们的新系列男装做了广告。 但事情并没有在这里结束，接下来的发展依然像惊险小说一样，悬疑又起，案犯并未轻易束手就擒。怀尔斯长达200页的手稿投交到《数学发明》杂志，开始了庞杂 的审稿过程。这是一个特大型的论证，由数以百计的数学计算通过数以千计的逻辑链环错综复杂地构造而成。只要有一个计算出差错或一个链环没衔接好，整个证明 将可能失去其价值。 值得解决的问题会以反击来证明它自己的价值。在苛刻的审稿过程中，审稿人碰到了一个似乎是小问题的问题。而这个问题的实质是，无法使怀尔斯像原来设想的那样保证某个方法行得通。他必须加强他的证明。 时间越耗越长，问题依然解决不了，全世界开始对怀尔斯产生怀疑。14个月的时间过去了，他准备公开承认失败并发表一个证明有缺陷的声明。在山穷水尽的最后时刻，1995年9月19日，一个星期一的早晨，他决定最后检视一次，试图确切地判断出那个方法不能奏效的原因。 一个突然迸发的灵感使他的苦难走到了尽头：虽然那个方法不能完全行得通，但只需要使另一个他曾经放弃的理论奏效，正确答案就可以出现在废墟之中——两个分别不足以解决问题的方法结合在一起，就可完美地互相补足。 足足有20分钟，怀尔斯呆望着那个结果不敢相信，然后，是一种再也无事可做的巨大失落感。 100年前，专为费马大定理而设的沃尔夫斯凯尔奖将截止日期定为2007年9月13日。 传奇 《费马大定理》既是一部惊险小说，也是一部武侠小说，激荡着绝顶高手传诵千古的传奇故事。 那个数学世界里的江湖是属于年轻人的。少年英雄在这里尽情挥洒他们的天纵其才，库特•哥德尔提出他的不可判定性定理时，年仅25岁，便将同时代的同行推入绝 望的深渊；挪威的阿贝尔在19岁时作出了他对数学的最伟大的贡献，8年后在贫困交加中去世，法国数学家埃米尔特评价“他留下的思想可供数学家们工作500 年”；相较而言，安德鲁•怀尔斯40岁开始研究费马大定理，别人认为他应该是才思枯竭的岁数了。“年轻人应该证明定理，而老年人则应该写书。”英国数学家 哈代说，“数学较之别的艺术或科学，更是年轻人的游戏。”还有哪片领土更适合年轻人来谱写传奇?在英国皇家学会会员中，数学家的平均当选年龄是最低的。 围绕着费马大定理发生的故事，更是超出了最优秀编剧的想像。 1954年1月，东京大学的年轻数学家志村五郎去系图书馆借一本书，令他吃惊的是，那本书被一个叫谷山丰的人借走了。志村给这位并不熟悉的校友写了封信，几天后，他收到对方的明信片，谷山告诉他，他是在进行同一个计算，并在同一处被卡住了。 一种惊喜的默契顿时产生，两人开始了惺惺相惜的合作。“他天生就有一种犯许多错误，尤其是朝正确的方向犯错误的特殊本领。”志村评价他的拍档。1958年 11月17日，刚刚订婚的谷山、这个心不在焉的天才人物选择了自杀。几个星期后，他的未婚妻也结束了自己的生命，遗书中写道：“既然他去了，我也必须和他在一起。” 谷山在遗书中为他的自杀行为引起的种种麻烦向他的同事们表示歉意，而他遗留下的对数学的许多根本性想法，成为解开费马大定理的惟一一把钥匙：谷山－志村猜想。30年后，他的伙伴志村目睹了他们的猜想被证实，用克制和自尊的语调平静地对记者说：“我对你们说过这是对的。” 他依然保存着谷山第一次寄给他的那张明信片。 德国实业家沃尔夫斯凯尔并不是一个有天赋的数学家，但一桩最不可思议的事件将他与费马大定理永远联系在一起。对一位漂亮女性的迷恋及被拒绝，令沃尔夫斯凯尔备感绝望。他决定自杀，并定下了自杀的日子，准备在午夜钟声响起时开枪射击自己的头部。沃尔夫斯凯尔认真地做着每一个细节：处理好商业事务、写下遗嘱，并给所有的亲朋好友写了信。 他的高效率使得所有的事情略早于午夜的时限就办完了。为了消磨最后的几个小时，他到图书室翻阅数学书籍：一篇关于费马大定理证明的论文……他不知不觉拿起了笔，一行一行计算起来…… 天亮了。 沃尔夫斯凯尔为自己发现并改正了论文中的一个漏洞感到无比骄傲，原来的绝望和悲伤消失了，数学将他从死神身边唤回。 1908年，得享天年的沃尔夫斯凯尔写下了他新的遗嘱：他财产中的一大部分作为一个奖，规定奖给任何能证明费马大定理的人，奖金是10万马克，按现在的币值超过100万英镑。这是他对那个挽救过其生命的盖世难题的报恩方式。 法国数学家伽罗瓦陷入一桩风流韵事中。与他相好的女人事实上已经订婚，那名绅士发现了未婚妻的不忠，愤怒地向伽罗瓦提出决斗。对方是法国一名最好的枪手，而伽罗瓦非常清楚自己的实力：遑论开枪，就连数学演算他都是只在头脑里进行，而不屑于在纸上把论证写清楚，为此他的许多数学成果都得不到法国科学院的重视与承认。决斗的前一晚，他相信这是自己的最后一晚，也是把他的思想写在纸上的最后机会。 他通宵达旦，写出了存在自己头脑里的所有定理。在复杂的代数式中，那个女人的名字不时隐藏其间，还有绝望的感叹——“我没有时间了，我没有时间了！” 第二天，1832年5月30日，伽罗瓦死于决斗。 等他潦草的手稿被递至欧洲一些杰出的数学家手里时，那些演算中迸发出的天才思想使专家们惊叹：一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了，他研究数学只有5年。伽罗瓦在手稿中对五次方程的解法进行了完整透彻的叙述，而他演算的核心部分则是称为“群论”的思想，他将这种思想发展成一种能攻克以前无法解决的问题的有力工具。伽罗瓦生命中最后一夜的工作，一个半世纪后成为安德鲁•怀尔斯证明谷山－志村猜想的基础。 1997年6月27日，符合沃尔夫斯凯尔委员会的规定战胜费马挑战的安德鲁•怀尔斯收到了价值5万美元的奖金。是的，费马大定理被正式解决了。怀尔斯汇集了20世纪数论中所有的突破性工作，并把它们融合成一个万能的证明。人们又重新掂量起费马写下的那一行附加评注：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。”可以确定的是，几个世纪以前，费马没有发明出安德鲁•怀尔斯证明大定理所用的模形式、谷山－志村猜想、伽罗瓦群论和科利瓦金－弗莱切方法。那么，费马本人是用什么方法证明他所提出的猜想的呢?那只是一个有缺陷的证明，还是他以17世纪的技巧为基础，涉及的却是其后几百年所有数学家都没有发现 的另一种方法?我们永远也没机会知道了。“那段特殊的漫长的探索现在结束了，我的心灵归于平静。”安德鲁•怀尔斯说。 传奇似乎已经落幕，而事实上更大的传奇却被永远隐藏在358年以前。 |
|
|
