【原】第二十课时 无穷小是零吗？──第二次数学危机

教学目标：了解第二次数学危机及其发生与解决。体会数学的发展不是一帆风顺的，同时，数学的发展也要经历从不完善到完善的过程。

教学过程　

一、导入

经历了第一次数学危机，数学就一帆风顺地发展下来了吗？不是的。　　　

二、第二次数学危机

1、芝诺悖论引发微积分的产生　　　　　

十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：

“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。

“阿基里斯(《荷马史诗》中的善跑的英雄)追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。

芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。

经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；微分法和积分法有明确的计算步骤；互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。

说白了，微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分，无限就是极限。极限思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如,子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。

其实，作为微积分基础的极限思想，在中国古老的著作《庄子》中就出现过，《庄子》天下篇中有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的无穷思想，魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立的“割圆术”中也有极限思想：“割之弥细,所失弥少,割之又割，以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。”

只不过，中国人没有觉得这有什么，也就没有去研究。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。它使数学从初等数学“进化”到了高等数学。

2、第二次数学危机的产生　

运用微积分虽然可解决无限细分和无限求和这样的问题，但微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，运用了自相矛盾的思想：一方面，他用了无穷小量作分母进行除法，这时候的无穷小量不能为零；另一方面，他把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式。虽然力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？

无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。

虽在牛顿和莱布尼兹创立微积分之后的大约一百年中，很少有人注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批评。对有缺陷的基础强有力的批评来自一位非数学家，这就是著名的英国唯心主义哲学家、大主教贝克莱。1734年，贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础----无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。由此围绕微积分基础的大论战便开始了。数学家、哲学家和神学家都纷纷卷入其中，被称为第二次数学危机。

３、第二次数学危机的解决　

18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和具有任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。　

历史要求给微积分以严格的基础。

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早想象使微积分严谨化的是拉格朗日，为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

到了十九世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极地为微积分学的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺。他开始将严格的论证引入导数学分析中。1816年他在二项展开公式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念。同时对极限、连续、变量有了较深入的理解。特别是他曾写出《无穷的悖论》一书，书中包含许多真知灼见。可惜，在他去世两年后该书才得以出版。

分析学的奠基人，公认为法国多产的数学家柯西。柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。他在1821年——1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列基础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。这些定义基本上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写的更加严格一点。

经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。