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线性代数2

 蓝毓 2010-04-07

全国200910月高等教育自学考试

线性代数试题

课程代码:02198

 

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,rA)表示矩阵A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.已知行列式 =0,则数a =   

A.-3                                                                B.-2

C.2                                                                 D.3

2.下列矩阵中不是初等矩阵的为(   

A.                                                 B.

C.                                                  D.

3.已知2阶矩阵A = 的行列式|A|=-1,则(A*-1=   

A.                                                B.

C.                                                D.

4.n阶矩阵ABC满足ABC=E,则C -1=   

A.AB                                                              B.BA

C.A-1B-1                                                          D.B-1A-1

5.A2阶矩阵,若|3A|=3,则|2A|=   

A.                                                                B.1

C.                                                                D.2

6.向量组 ,…, s2)的秩不为零的充分必要条件是(   

A. ,…, 中没有线性相关的部分组

B. ,…, 中至少有一个非零向量

C. ,…, 全是非零向量               

D. ,…, 全是零向量

7.Am×n矩阵,则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是(   

A.rA=n                                                    B.rA=m

C.rA<n                                                    D.rA<m

8.已知3阶矩阵A的特征值为-101,则下列矩阵中可逆的是(   

A.A                                                                B.E-A

C.-E-A                                                            D.2E-A

9.设矩阵A= ,则二次型xTAx的规范形为(   

A.                                               B.

C.                                                D.

10.4元二次型fx1,x2,x3,x4=2x1x2+2x1x4+2x2x3+2x3x4的秩为(   

A.1                                                                 B.2

C.3                                                                 D.4

 

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.已知行列式 =1, =______________.

12已知矩阵方程XA=B,其中A= B= ,则X=___________.

13.已知矩阵A=12-1),B=2-11),且C=ATB,则C2=__________.

14.设矩阵A= ,则 =_____________.

15.设向量组 =100T =010T,且 ,则向量组

的秩为____________.

16.已知向量组 =123,)T =222T, =32aT线性相关,则数a=________.

17.已知向量 =3k,2T =11kT正交,则数k=_______.

18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为 ,若该方程组无解,则a的取值为_________.

19.已知3阶矩阵A的特征值分别为123,则|E+A|=_______.

20.已知3元二次型fx1,x2,x3=1-a + +a+3 正定,则数a的最大取值范围是_______.

 

三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)

21.计算行列式D= 的值.

22.设矩阵A= E2阶单位矩阵,矩阵B满足BA=B+E,求|B|.

23.已知线性方程互组

1)讨论当a为何值时,方程组无解、有惟一解、有无穷多个解;

2)当方程组有无穷多个解时,求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).

24.设向量组 =1410T =21-1-3T =10-3-1T

=02-63T,求该向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.

25.已知矩阵A= B= 相似,求数a,b的值.

26.已知二次型fx1,x2,x3=2x1x2+2x1x3+2x2x3,求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.

 

四、证明题(本大题6分)

27.设矩阵A满足A2=E,且A的特征值全为1,证明A=E.

 

 

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