何时才用一般式?
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式.
巧取交点式法
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2
分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便.
典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式.
例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式.
析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),∵过点(2,8),∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2,∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1),
即y=2x2+2x-4. 典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交
点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解. 例2已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4
.求二次函数的解析式. 思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0).此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式.
顶点式的妙处
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a.在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题.在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数
顶点式. 例3已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(
1,10),求此二次函数的解析式. 析解∵顶点坐标为(-1,-2),
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0).把点(1,10)代入上式,得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0,那么当x= -b2a时,y有最小
值且y最小=4ac-b24a;如果a<0,那么,当x=-b2a时,y有最大值,且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标
,同样也可以求出顶点式. 例4 已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析
式. 析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,
-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上. 由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0).
∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73. 典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出.
例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式. (2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式. (3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式. (4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)
典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便.
例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______.
析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的,∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.
竹林中学熊富霞