二次函数的应用：三大实际问题

二次函数的应用

【回顾与思考】 

    二次函数应用

【例题经典】

用二次函数解决最值问题

例1  （2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

    【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2  某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）	15	20	30	…
y（件）	25	20	10	…

    若日销售量y是销售价x的一次函数．

    （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

    （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

    【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．

    （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

         w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

    产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

    【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

【考点精练】

1．二次函数y=x2+x-1，当x=______时，y有最_____值，这个值是________．

2．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面________m．

3．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=V2．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．

4．（2006年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

5．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：

销售价x（元/千克）	…	25	24	23	22	…
销售量y（千克）	…	2000	2500	3000	3500	…

    （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

6．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式．

    （1）试求出y与x的函数关系式；

    （2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出答案）．

7．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．

    （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

    （2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

8．（2006年泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．

 （1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

 （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．

    ①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；

    ②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3.14，结果精确到0.1米）

答案:

例题经典  

例1：解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）

易知CN=4-x，EM=4-y．且有（作辅助线构造相似三角形），即=，∴y=-x+5，S=xy=-x2+5x（2≤x≤4），

此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5，

∴当x≤5时，函数的值是随x的增大而增大，

对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值S最大=-×42+5×4=12．

考点精练  

1．-1，小，-  2．7  3．36

4．解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，∴，

∵AB=2AD，MN=x，∴MF=2x，∴EM=EF-MF=10-2x，

∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-）2+，

∴当x=时，S有最大值为．

5．解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，

∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，

∴ ，

∴y=-500x+14500．

（2）P=（x-13）·y=（x-13）·（-500x+14500）

=-500x2+21000x-188500=-500（x-21）2+32000，

∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500，

当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．

6．解：（1）设y=kx+b由图象可知，，

∴y=-20x+1000（30≤x≤50）  

（2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x2+1400x-20000．

∵a=-20<0，∴P有最大值．

当x=-=35时，P最大值=4500．

即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

（3）31≤x≤34或36≤x≤39．

7．解：（1）M（12，0），P（6，6）．  

（2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x-6）2+6，

∵抛物线过O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得a=，

∴这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x． 

（3）设点A的坐标为（m，-m2+2m），

∴OB=m，AB=DC=-m2+2m，根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，

∴BC=12-2m，即AD=12-2m，

∴L=AB+AD+DC=-m2+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-（m-3）2+15．

∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．

8．（1）当AD=4米时，S半圆=×（）2=×22=2（米2）． 

（2）①∵AD=2r，AD+CD=8，∴CD=8-AD=8-2r，

∴S=r2+AD·CD=r2+2r（8-2r）=（-4）r2+16r，

②由①知CD=8-2r，又∵2米≤CD≤3米，∴2≤8-2r≤3，∴2．5≤r≤3，

由①知S=（-4）r2+16r=（×3.14-4）r2+16r

=-2.43r2+16r=-2.43（r-）2+，

∵-2.43<0，∴函数图象为开口向下的抛物线，

∵函数图象对称轴r=≈3.3．又2.5≤r≤3<3.3，

由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，

故当r=3时，S有最大值，

S最大值=（-4）×32+16×3≈（×3.14-4）×9+48=26.13≈26.1（米2）．

答：隧道截面面积S的最大值约为26.1米2．