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第十一讲：一次函数 知识梳理 知识点1、一次函数与正比例函数的概念 重点：掌握一次函数与正比例函数的概念 难点：熟练判断一次函数与正比例函数 一般地，形如 的函数，叫做正比例函数。 一般地，形如 的函数，叫做一次函数。 例1、下列函数中是一次函数的是（ ） A. 例２、在函数 y＝3x－2，y＝ A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 解题思路：运用一次函数与正比例函数的概念，例1选C,例2选B 知识点2、一次函数的图象和性质 重点：掌握一次函数与正比例函数图像和性质 难点：运用一次函数与正比例函数图像和性质解决问题 1、 形状 一次函数的图象是一条 2、 画法 确定 个点就可以画一次函数图像。一次函数与 3、 性质 （1）一次函数 （2）正比例函数，当 强调：k,b与 一次函数y= ②当ｋ＞0时，y随着x的增大而增大， ③当ｋ＜0时，y随着x的增大而减小， ④当b＞0时，直线交于ｙ轴的正半轴， ⑤当b＜0时，直线交于ｙ轴的负半轴 ⑥当b＝0时，直线交经过原点， （3）一次函数
例1、关于函数 A.函数图象经过点(1,5) B.函数图像经过一、三象限 C. 解题思路：熟练掌握 例2、一次函数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解题思路：熟练掌握一次函数中k,b的作用，或画出一次函数的图像，选B 练习1、求一次函数 2．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量
(A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg 答案：1.（1，0），（0，-2），1 2. B 知识点3、一次函数与正比例函数的关系[来源:Z&xx&k.Com] 重点：掌握一次函数与正比例函数的关系 难点：正确区分一次函数与正比例函数 正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。 一次函数当 一次函数
A． 答案：D 知识点4、待定系数法确定一次函数解析式 重点：待定系数法确定一次函数解析式 难点：确定一次函数解析式 通过两个条件（两个点或两对数值）来确定一次函数解析式。 例1如图所示，已知直线 （1）
解题思路： 1确定一次函数的表达式，就是求待定系数 2第二小题，是涉及函数与几何的综合题，根据勾股定理、三角形有关性质等知识，运用数形结合的思想求得. 解：（1）直线 点A（0，2）在直线上， 又B（3，0）在直线上， 因此， （2）从图象观察得，OA=2，OB=3，
例2：声音在空气中传播的速度
（1）求 （2）气温 解题思路：根据对应值用待定系数法确定一次函数关系式 解：（1）设
（2）当
练习1已知一次函数y=kx+b(k≠0)在x=1时，y=5，且它的图象与x轴交点的横坐标是６，求这个一次函数的解析式。 2.在直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图像经过三点A（2，0）、B（0，2）、C（m，3），求 答案：1. 一次函数的解析式为 y= - x+6。2. y= - x+2，m=-1 知识点5、用函数的观点看方程（组）与不等式 重点：理解一次函数与方程（组）与不等式的联系 难点：用函数观点解决方程（组）与不等式 1.一元一次方程ax+b=0(a≠0)与一次函数y=ax+b(a≠0)的关系 (1)一元一次方程ax+b=0(a≠0)是一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时的特殊情形。
2.一元一次不等式与一次函数的关系： (1)一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)是一次函数y=ax+b (a≠0)的函数值不等于0的情形。 (2)直线y=ax+b上使函数值y>0(x轴上方的图像)的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0(x轴下方的图像)的x的取值范围是ax+b<0的解集。 3.二元一次方程与一次函数的联系 (1)任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式，即使每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。 (2)直线y=kx+b的每一点的坐标均为这个二元一次方程的解。 4.二元一次方程组与一次函数的关系 (1)二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式。 (2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标。 例.近海处有一疑船只B正向公海方向行驶，我边防局接到情报后速派出快艇A追赶，图中l1,l2分别表示A艇和B船相对于海岸的距离y(n mil)与追赶时间x(min)之间的一次函数的关系，根据图像， (1)分别求出l1,l2的函数关系式； (2)当B船逃到离海岸12n mil的公海时，A艇将无法对其进行检查，问A艇能否在B船逃入公海前将其拦截(A，B速度均保 解题思路：由直线通过已知点的坐标可分别求函数解析式，先假设A艇能追上B船，通过求出追上时x,y的值，再判断此时是否已经逃离出公海。将实际问题中能否将其拦截的问题转化为求二元一次方程组的解，再由方程组的解来说明实际问题是本题的重点，请同学们注意领会。 解： (1)∵l1通过原点 ∴设l1的解析式为y1=k1x 将点(8,4)代入得，4=8k 设l2的解析式为y2=k2x+b，它的图像通过(0，4)和(8,6) ∴l2的解析式为 (2)若l2,l1相交 则 ∵y=8≤12，∴A艇能在B船逃离公海前将其拦截。 例2某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件，可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件． （1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式； （2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？ 解题思路： 本题主要考查用函数观点来解决实际问题，关键是正确找出y与x之间的函数关系式． 解：（1）此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式是 y=6x·150+5（20-x）·260=26000-400x（0≤x≤20）． （2）当y≥24000时，有26000-400x≥24000， ∴x≤5， ∴20-x≥15． ∴要想使每天车间所获利润不低于24000元，至少要派15名工人去制造乙种零件才合适。 练习1.在同一坐标系中作一次函数y1=2x-2 与y2=0.5x+1的图象.
②则方程组 的解是 . ③当x 时, y1＞y2 ④当x 时, y1=y2 ⑤当x 时, y1＜y2 ⑥直线y1、y2与X轴所围成三角形的面积是 . 2.光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表．
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来； 答案：1. ①（2，2），② 2. 解：租赁公司收割机总数等于A，B两地区所需收割机总和．[来源:学科网] （1）派往A地区x台乙 ∴y=1600x+120O（30-x）+180O（30-x）+1600(x-10)＝20Ox+74000． 自变量x的取值范围是10≤x≤30（x是正整数）， （2）由题意得20Ox+74000≥7960O，∴x≥28． ∴x＝28，29，30． ∴有3种不同分配方案． ①当x=28时，即派往A地区甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，派往B地区甲型联合收割机18台，乙型联合收割机2台． ②当x=29时，即派往A地区甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，派往B地区甲型联合收割机19台，乙型联合收割机1台．[来源:学科网ZXXK] ③当x=30时，即30台乙型联合收割机全部派往A地区，20台甲型联合收割机全部派往B地区． 最新考题 一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容.中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；用一次函数解决实际问题. 利用一次函数解决实际问题，题型多样化，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力． 考查目标一、一次函数的图像及性质 例1（2009年广西钦州）一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式： 解题思路：根据一次函数的图象的性质，y＝kx＋2（k＞0即可） 例2已知关于 解题思路：根据一次函数的图象的性质，m-1>0,则m>1 考查目标二、确定关系式 例（2008晋江）东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段
⑵试求出A、B两地之间的距离. 解：⑴交点P所表示的实际意义是： 经过2.5小时后，小东与小明在距离B地7.5千米处相遇. ⑵设 ∴ ∴ 故AB两地之间的距离为20千米. 考查目标三、一次函数与面积 例已知直线 （1）求直线 （2）求四边形ABCD的面积； （3）设直线
解题思路：1）确定交点坐标（可用参数表示）； （2）求出有关线段的长度； （3）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图象与面积间的关系综合求解。 解：（1）由（－1，6）、（1，2）得 由（2，－4）、（0，－3）得 （2）由（1），得A（0，4），B（2，0），C（0，－3），D（－6，0）
（3）由
考查目标四、一次函数方案问题 例（09年辽南）辽南素有“苹果之乡”美称，某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。 (1)设有x辆车装A种苹果，用y辆车装B种苹果，根据下表提供的信息求y与x的函数关系式
(2)设此次外销活动的利润为W(百元)，求W与x的函数关系式及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。 解题思路：y与x的函数关系式应结合车辆总数和外销苹果总吨数来建立函数模型，每种苹果的利润等于每辆车的运载量×车辆数×每吨苹果的获利，利用题意中的数量关系建立函数模型，利用自变量及其相关的代数式的实际意义确定其取值范围，是求函数实际问题中的常用方法。 解：(1)由题意得，运C种 ∴y=-2x+20 ∴运A种苹果有x辆汽车，运B种苹果有(-2x+20)辆汽车，运C种苹果有20-x-y=20-x-(20-2x)=x辆汽车 ∴x为整数 ∴x的取值范围是2≤x≤9，且x为整数 (2)W=2.2×6x+2.1×8(20-2x)+2×5x ∴W=-10.4x+336，∴-10.4<0，∴W随x的增大而减小，当x=2时，W有最大值为315.2，即最大利润为31520元。 辆车分配方案为装运A种苹果2辆车，B种苹果16辆车，C种苹果用2辆车。 利用题意中的数量关系建立函数模型，利用自变量及其相关的代数式的实际意义确定其取值范围，是求函数实际问题中的常用方法。 考查目标五、一次函数图表信息 例（2009年衡阳市）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 km，乙、丙两地之间的距离为 km；
（3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
解题思路：根据题目所给的信息，结合一次函数的知识 解（1）8，2 （2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为：[来源:Zxxk.Com]
第二组由乙地到达丙地所用的时间为：
（3）根据题意得A、B的坐 和（1，2），设线段AB的函数关系式为：
∴图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式为： 过关测试 一选择题 1.若一次函数 A．
A．x＞-2 B．x＞0 C．x＜-2 D．x＜0
A．
4.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象.根据图象下列结论错误的是（ ） A.轮船的速度为20千米/时 B.快艇的速度为40千米/时 C.轮船比快艇先出发2小时 D.快艇不能赶上轮船
该小镇只有唯一通道,且路程为24km.如图是他们行走的路程关于时 间的函数图象,四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的 个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7、点 P（a A、－2＜a＜0 B、0＜a＜2 C、a＞2 D、a＜0 8、在函数 y＝3x－2，y＝ A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 9、王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到一个离家 900 米的公园，与朋友聊天10分钟后，然后用15分钟返回家里。下面图形表示王大爷离家的时间与外出距离之间的关系是（ ）
A B C D 10、在函数 y＝kx（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（－1，y）、C（－2，y）三个点，则下列各式中正确（ ） A、y1＜y2＜y3 B、y1＜y3＜y2 C、y3＜y2＜y1 D、y2＜y3＜y1 11、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，其图象如右图所示，则不挂物体的弹簧长度是（ ） A、10cm B、8cm C、5cm D、7cm 12．已知 k1＜0＜k2，则函数 y＝k1x 和 y＝ A B C D 二、填空题 1.若正比例函数 2.如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度y（米）与时间x（天）之间的关系图象.根据图象提供的信息，可知该公路的长度是______米.
3.如图，点D的纵坐标等于______；点A的横坐标是方程______的解；大于点B的横坐标是不等式______的解集；点C的坐标是方程组______的解；小于点C的横坐标是不等式______的解集. 4、如果直线 y＝ax＋b 不经过第四象限，那么 ab＿＿＿0（填“≥”、“≤”或“＝”）。 5、近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例，已知 400°近视眼镜片的焦距为0.25m，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿。 6、某书定价 8 元，如果购买 10本以上，超过 10 本的部分打八折。请写出购买数量 x（本）与付款金额 y（元）之间的关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 三解答题 1、已知 y＝y 1＋y2 ，y1 与 x 成正比例，y2 与 x 成反比例，并且当 x ＝2 时，y ＝6，当 x ＝3时，y ＝5，求 y 与 x 的函数关系式。 2、一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 A（5，－3）和点 B，其中点 B 是直线 y＝－x＋2 与 x轴的交点，求函数的解析式。 [来源:学科网ZXXK] 3、右图里某长途汽车站旅客携带行李费用示意图，试说明收费方法，并写出行李费 y（元）与行李重量 x（千克）之间的函数关系。
[来源:学科网]
求：（1）一次函数的解析式。 （2）△AOB的面积。 答案
二、1. 4、≥ 5、y＝ 三、1、y＝k1x＋ 2、解：B (2，0) 3、y＝x－40(40≤x) 行李小于或等于40千克时，免费，如果超过，则每千克收费 1 元 4、y＝－2x y＝ 5、①解：A (－2, 4) B (4,－2) ② |
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