2010全国中考数学试题汇编:直线与圆的位置关系(含答案)

2010年 部分省市中考 数学试题分类汇编 

直线与圆的位置关系

1、（福建德化）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．

答案：1）直线CE与⊙O相切。

证明：∵四边形ABCD是矩形  ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ， 

又 ∵∠ACB=∠DCE

∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90

∴∠AE0+∠DEC=90   ∴∠OEC=90   ∴直线CE与⊙O相切。

（2）∵tan∠ACB=，BC=2  ∴AB=BC∠ACB= AC=

又∵∠ACB=∠DCE  ∴tan∠DCE=   ∴DE=DC•tan∠DCE=1

方法一：在Rt△CDE中，CE=，

连接OE，设⊙O的半径为r，

则在Rt△COE中，即  解得：r=

方法二：AE=CD-AE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=

在Rt△AMO中，OA=

20．(2010年北京崇文区)   如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆 于点，交于点使．

（1）判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；

（2）若，求的长．

【关键词】切线的证明、弦长的计算

【答案】解：（1）与的相切．证明如下：

 

． 

又，

． 

即与的相切．

（2）解：连接．是直径，

在中，，

,

．．

,

在中，，

=．

8．（2010年门头沟区）如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，

,点在数轴上运动，若过点且与平行的直

线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是

 A．－1≤≤1   B．≤≤  C．0≤≤  D．＞  

【关键词】圆的切线

【答案】C

19. （2010年门头沟区）已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，

AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若cm，cm，求⊙O的半径.

【关键词】圆的切线

【答案】（1）证明：连接OD．

∵OA=OD，

．

 ∵AD平分∠CAM，

，

．

∴DO∥MN．

，

∴DE⊥OD．………………………………………………………………………………1分

∵D在⊙O上， 

是⊙O的切线．……………………………………………………………………2分

（2）解：，，，

．………………………………………………3分

连接．是⊙O的直径，

． 

，

．………………………………………………………………4分

．

． 

∴（cm）．

⊙O的半径是7.5cm．

1.（2010年台湾省） 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，

  且与交于另一点D。若ÐA=70°，ÐB=60°，则 的度数为何？  (A) 50  (B) 60  (C) 100  (D) 120 。

【关键词】直线和圆的位置关系

【答案】C

2.（2010年山东省济南市）如图，是⊙的切线，为切点，是⊙的弦，过作于点．若，，．

求：（1）⊙的半径； 

（2）AC的值．

【关键词】直线和圆的位置关系

【答案】

解①∵AB是⊙O的切线，A为切点

∴OA⊥AB     ………..…………………………1’

在Rt△AOB中，

AO===5 ………..…….2’

∴⊙O的半径为5

②∵OH⊥AC

∴在Rt△AOH中

AH===  ……….3’

又∵OH⊥AC

∴AC=2AH=2       ……………….……..4’

18、（2010年宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为___________。

答案：（，2）或（，2）

（2010年重庆市潼南县） 如图，在矩形ABCD中，AB=6 ， BC=4， ⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是             .

【关键词】直线与圆的位置关系

【答案】相离

14．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.

解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离.

答案：相离.

1.(2010年山东聊城)如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．

【关键词】切线

【答案】（1）∵AB为直径,∴∠ADB=90° AD=3  BD=4   AB=5

由Rt△ABC∽Rt△ABD可得：

  ∴BC==

（2）连接OD,

∵BD⊥AC   E为BC中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB, ∵OB=OD

∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°,

∴ED与⊙O相切.

1. (2010年兰州市)（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

   （1）求证：PC是⊙O的切线；

   （2）求证：BC=AB；

   （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

【关键词】

切线的判定

【答案】

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO     

   ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB             

   ∴∠A=∠ACO=∠PCB      ……………………………………………………1分

           ∵AB是⊙O的直径

   ∴∠ACO+∠OCB=90°        …………………………………………………2分

          ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP     …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半径                      

  ∴PC是⊙O的切线          …………………………………………………4分

        （2）∵PC=AC  ∴∠A=∠P

         ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P    

         ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

 ∴∠CBO=∠COB                 ……………………………………………5分

         ∴BC=OC

 ∴BC=AB             ………………………………………………………6分

         (3)连接MA,MB                          

         ∵点M是弧AB的中点

  ∴弧AM=弧BM  ∴∠ACM=∠BCM    ………7分     

∵∠ACM=∠ABM  ∴∠BCM=∠ABM         

         ∵∠BMC=∠BMN

         ∴△MBN∽△MCB                   

 ∴   

∴BM2=MC·MN        ……………………8分

         ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM 

         ∴∠AMB=90°,AM=BM

   ∵AB=4  ∴BM=    ………………………………………………………9分

 ∴MC·MN=BM2=8         ……………………………………………………10分

（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．

求证：（1）PD=PE；

（2）．

【关键词】切线

【答案】证明：(1)连接OC、OD………………1分

∴OD⊥PD ，OC⊥AB

∴∠PDE=—∠ODE，

∠PED=∠CEO=—∠C

又∵∠C=∠ODE

∴∠PDE=∠PED               …………………………………………4分

∴PE=PD                      …………………………………………5分

(2) 连接AD、BD                    ………………………………………6分

∴∠ADB=               

∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD

又∵∠OBD=∠ODB     ∴∠BDP=∠A

∴PDB∽PAD             …………………………………………………8分

∴      ∴

∴   

8.  （2010年安徽中考）如图，⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为………………（      ）

A）B）C）D） 

【关键词】直线与圆的位置关系

【答案】C

13. （2010年安徽中考）  如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500，点D是BAC上一点，则∠D＝_______________

【关键词】圆内接三角形

【答案】400

20．（2010年浙江省东阳市）（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.       

（1）求证: ～；

(2) 求的值；                             

（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，

求的度数.

【关键词】三角形相似、解直角三角形

【答案】（１）∵点A是弧BC的中点　∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ

又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ　　∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分

（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ　∴ＡＢ２＝２×６＝１２　∴ＡＢ＝２

在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分

（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，

∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

14．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.

解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离.

答案：相离.

28.（2010江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．

⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．

①求k的值；

②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．

⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）

      

【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.

②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.

∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，

∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，

∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，

∴OD＝PD＝，OP=.

∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，

∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，

∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，

解得m=1或3，

∴P的坐标为（1，3）或（3，1）

⑵分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。

直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．

当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．

综合以上得：b的值为或．

【关键词】一次函数、勾股定理、圆的切线等知识的综合运用

6．（2010年山东省青岛市）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（    ）．

A．相离 B．相切   C．相交 D．相切或相交

【关键词】直线与圆的位置关系

【答案】B

23．(2010年安徽省芜湖市)（本小题满分12分）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧⌒(AB)上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．

（1）求证：PM＝PN；

（2）若BD＝4，PA＝ 2(3)AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

【关键词】圆的切线、勾股定理、相似三角形

(1)【证明】：连接OM，．．．．．．．1分

∵MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP．∴∠OMD+∠DMP=90°．

∵OA⊥OB，∴∠OND +∠ODM=90°．

又∵∠MNP=∠OND ，∠ODM=∠OMD ，∴∠DMP=∠MNP，∴PM＝PN．．．．4分

(2)解：设BC交OM于点E，∴BD=4，OA=OB=，

∴PA=，∴PO=5．．．．5分

∵BC∥MP，OM⊥MP，∴OM⊥BC，BE=．．．．．．．．．．．．．．．7分

∵∠BOM+∠MOP=90°，在Rt△OMP中，∠MPO+∠MOP=90°，

∴∠BOM=∠MPO，又∵∠BEO=∠OMP==90°．

∴△OMP∽△BEO．∴．．．．．．．．．．．．．．．10分

得：，∴，∴．．．．．．．．．．．．．12分

4．(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_____________.

解析：因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离.

答案：相离.

21(2010年浙江省金华)．(本题8分)

如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF﹦BF；

（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为  ▲  ，

CE的长是  ▲  ．

【关键词】直径所对圆周角是直角

【答案】(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°

               又∵CE⊥AB，      ∴∠CEB﹦90°

              ∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1

              又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A

              ∴∠1﹦∠2,

   ∴ CF﹦BF﹒    

(2)  ⊙O的半径为5 ， CE的长是﹒  

8．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是

(A)0，1，2，3    (B)0，1，2，4   (C)0，1，2，3，4     (D)0，1，2，4，5 

【关键词】直线与圆的关系

【答案】C

20．（2010山东德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．

【关键词】切线、角平分线

【答案】（1）证明：连接OE，

∵AB=AC且D是BC中点，

∴AD⊥BC．

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE．

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA．

∴∠OEA=∠DAE．

∴OE∥AD．

∴OE⊥BC．

∴BC是⊙O的切线

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°．

∴∠EOB =60°．

∴∠EAO =∠EAG =30°．

∴∠EFG =30°．

（2010年四川省眉山）下列命题中，真命题是

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．圆的切线垂直于经过切点的半径

D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直

【关键词】真假命题和一些几何概念

【答案】C

（2010年广东省广州市）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是⌒(APB)上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.

【关键词】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积

【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．

（2）∠ACB是定值.

理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，

因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴

＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，

∴△ABC的周长为．