【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算?（一）

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 （一）

时间：2006-4-11 17:38:00 来源：本站原创 作者：佚名

数学网继【小学数学趣题巧算百题百讲百练】系列后又最新推出【小学数学解题思路大全】系列！本系列包括式题的巧解妙算、巧想妙算文字题 、巧想妙算填充、判断、选择题、 巧想妙算数的基本知识题、巧解整除问题 、巧想妙算应用题、巧想妙算初步几何知识题等几部分，几乎囊括了所有类型的例题及解题思路。     数学网将会为广大数学爱好者、小学生和家长提供更多的资源。 欢迎大家提供意见和建议，积极参与，共同进步！ 1.特殊数题(1)21－12 　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。 　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。 　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如 　　210－120＝(2－1)×90＝90， 　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。 (2)31×51 　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。 　　 　　若十位数字的和满10，进1。如 　　 　　证明：(10a＋1)(10b＋1) 　　＝100ab＋10a＋10b＋1 　　＝100ab＋10(a＋b)＋1 　　(3)26×86 42×62 　　 　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。 证明：(10a＋c)(10b＋c) 　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc 　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。 (4)17×19 　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。 　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323 证明：(10＋a)(10＋b) 　　＝100＋10a＋10b＋ab 　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。 (5)63×69 　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。 　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9 　　＝72×60＋27＝4347。 证明：(10a＋c)(10a＋d) 　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd 　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。 (6)83×87 　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如 证明：(10a＋c)(10a＋d) 　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd 　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。 (7)38×22 　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。 　　原式＝(30＋8)×(30－8) 　　＝302－82＝836。 　　(8)88×37 　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。 　　 (9)36×15 　　乘数是15的两位数相乘。 　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。 　　＝54×10＝540。 　　55×15 　　 (10)125×101 　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。 　　原式＝12625。 　　再如348×101，因为348＋3＝351， 　　原式＝35148。 (11)84×49 　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。 　　原式＝8400÷2－84 　　＝4200－84＝4116。 (12)85×99 　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。 　　原式＝8500－85＝8415 　　　　　 　　不难看出这类题的积： 　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差； 　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差； 　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。 证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则 　　　 　　如果被乘数的个位数是1，例如 　　31×999 　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。 　　71×9999＝709999－70＝709929。 　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为 　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。 (13)1÷19 　　这是一道颇为繁复的计算题。 　　原式＝0.052631578947368421。 　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。 　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序： 　　(1)先用0.1÷2＝0.05。 　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除 　　如此除到循环为止。 　 　 　 　 　 　　仔细分析这个算式： 　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。 　　除数末位是9，都可用此法计算。 　　例如1÷29，用0.1÷3计算。 　　1÷399，用0.1÷40计算。 2.估算 　　数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。 　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……” (1)最高位估算 　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。 　　例1 1137＋5044－3169 　　最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。 　　 　　如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。 　　例3 51.9×1.51 　　整体思考。 　　因为 51.9≈50， 　　而50×1.51≈50×1.5＝75， 　　又51.9＞50，1.51＞1.5， 　　所以51.9×1.51＞75。 　　另外9×1＝9， 　　所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。 　　例4 3279÷79 　　把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。 (2)最低位估算 　　例如，6403＋232＋1578 　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。 (3)规律估算 　　和大于每一个加数； 　　两个真分数(或纯小数)的和小于2； 　　一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和； 　　 　　两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2； 　　 　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数； 　　差总是小于被减数； 　　整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。 　　 　　带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差； 　　 　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1； 　　 　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数； 　　若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数； 　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如， 　　 　　 　　A＜AB＜B。 　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数； 　　若除数＜1，则商＞被除数； 　　若除数＞1，则商＜被除数； 　　若被除数＞除数，则商＞1； 　　若被除数＜除数，则商＜1。 (4)位数估算 　　整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。 　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和； 　　例如，451×7103 　　最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数； 　　例如，147342÷27 　　14不够27除，商是4－2＝2(位数)。 　　被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。 　　例如，30226÷238 　　302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。 (5)取整估算 　　把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。 　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。 　　12×8.5≈10×10，积接近100。 3.并项式 　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。 　　例1 3.34＋12.96＋6.66 　　　　＝12.96＋(3.34＋6.66) 　　 　　＝12.96＋10＝22.96 　　＝3－3＝0 　　例3 15.74－(8.52＋3.74) 　　＝15.74－3.74－8.52 　　＝12－8.52＝3.48 　　例4 1600÷(400÷7) 　　＝1600÷400×7 　　＝4×7 　　＝28