整式知识点

整式知识点

一、知识梳理：

现实世界、其他学科、数学中的问题情境  

①整式的加减

②幂

整式及其运算

             ③整式的乘法

解决问题       ④整式的除法

二、知识要点：

1、单项式、多项式、单项式的次数、多项式的次数、整式、同类项

1.单项式

  （1）单项式的概念：数与字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。

  注意：数与字母之间是乘积关系。

  （2）单项式的系数：单项式中的字母因数叫做单项式的系数。

  如果一个单项式，只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。

  （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式

  （1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号。

  （2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

  （3）多项式的排列：

  1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

  2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

3.整式： 单项式和多项式统称为整式。

4.同类项的概念：

  所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。

2、整式的加减（合并同类项）

  1.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

  2.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

  3.合并同类项步骤：

  ⑴．准确的找出同类项。

  ⑵．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

  ⑶．写出合并后的结果。

3、幂的运算法则：

①          （m、n都是正整数）

②           （m、n都是正整数）    幂的乘方：底数不变，指数相乘。

③            （n是正整数）  积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④          （a≠0，m、n都是正整数，且m>n） 同底数幂相除：底数不变，指数相减。

⑤            （a≠0）

⑥           （a≠0，p是正整数）

4、整式的乘法：

单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式

单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

  单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

  多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

   平方差公式：                 

完全平方公式：                     ，                        

平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。

   完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。

5、整式的除法

单项式除以单项式，多项式除以单项式

单项式与单项式相除有以下法则：单项式与单项式相除，把它们的系数，同底数幂分别相除，除数中多余的字母连同它的指数不变，作为积的形式。

单项式与多项式相除有以下法则：多项式与单项式相除，先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的积相加。

运算顺序

  先乘除， 后加减。  诺有括号， 最先做。 同级运算，从左到右。 掌握运算顺序  不忙活!

三、考点例析：

一）、考查基本运算法则、公式等：

例1、（08佛山）计算：                 .

答案：；

点评：运用多项式相乘的法则即可；应注意符号、及其合并同类项，把结果变为简略的形式；

例2、（08孝感）下列运算中正确的是（    ）

A．；B．；C．； D．

答案：D；点评：对照相应的公式即可看出正确的答案来；

例3、（08广州）下列式子中是完全平方式的是（    ）

A．    B．； C．； D． ；

答案：D．

点评：对照完全平方公式：可以看出：；

而其它三个选项都是错误的；

二）、同类项的概念

例4、 若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．

   【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 解出即可；求出：

所以：

三）、整式的化简与运算

例5、(08江西)先化简，再求值：

， 其中．

解：  ． 

当时，原式．

点评：在化简的过程中，可以适当的运用乘法公式、运算法则进行简便运算；

四）、定义新运算：

例6、（08孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：，

则方程的解为       ．17．

点评：两次运用题目中的新运算公式：（1）；

（2），所以：，求出：；

例7、（08 宿迁）对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设、都是实数，若，则．

点评：两次运用题目中的新运算公式，不难求出问题的答案来：

（1）由：得出：，

所以：（2）

五）整体思想的运用：

 例8、计算： 

分析：这里的底数为：、，而这两个式子恰为相反数，我们可以把看做一个字母：利用负数的偶次方是正数的原则变化：、两项的底数为，所以有：

解：原式===；

点评：底数是多项式且以固定的形式（或者某一形式的相反数）时出现，这类幂的乘积运算问题，可以把固定的形式看做一个整体，常常变化次数是偶次的幂的底数为它的相反数，这样变化不出现“-”，便于运算；应注意变为同底数的幂的一般方法的灵活运用；