全等三角形是初中几何的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学,虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论,但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见思路,进行分析。 一、已知一边与其一邻角对应相等 1.证已知角的另一边对应相等,再用SAS证全等。 例1 已知:如图1,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C .求证:AF=DE.(原九义教材《几何》二册30页1题) 证明 ∵BE=CF(已知),∴BE+ EF=CF+EF,即 BF=CE. 在△ABF和△DCE中,
∴ △ABF≌△DCE(SAS)。 ∴ AF=DE(全等三角形对应边相等)。
2.证已知边的另一邻角对应相等,再用ASA证全等。 例2 已知:如图2,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.求证:AE=CE.(原九义教材《几何》二册44页5题) 证明∵ FC∥AB(已知),∴∠ADE=∠CFE(两直线平行,内错角相等)。 在△ADE和△CFE中,
∴ △ADE≌△CFE(ASA)。 ∴ AE=CE(全等三角形对应边相等) 3.证已知边的对角对应相等,再用AAS证全等。 例3 (同例2)。 证明 ∵ FC∥AB(已知), ∴ ∠A=∠ECF(两直线平行,内错角相等)。 在△ADE和△CFE中,
∴ △ADE≌△CFE(AAS)。 ∴ AE=CE(全等三角形对应边相等)。 二、已知两边对应相等 1.证两已知边的夹角对应相等,再用SAS证等。 例4 已知:如图3,AD=AE,点D、E在BC上,BD=CE,∠1=∠2.求证: △ABD≌△ACE.(原九义材《几何》二册32页8题); 证明 ∵∠1=∠2(已知), ∠ADB=180°-∠1, ∠AEC=180°-∠2(邻补角定义), ∴∠ADB = ∠AEC, 在△ABD和△ACE中,
∴ △ABD≌△ACE(SAS)。
2.证第三边对应相等,再用SSS证全等。 例5 已知:如图4,点A、C、B、D在同一直线上,AC=BD,AM=CN, BM=DN.求证: AM∥CN,BM∥DN.(原九义教材《几何》二册45页10题) 证明 ∵ AC=BD(已知) ∴AC+BC=BD+BC, 即 AB=CD. 在△ABM和△CDN中,
∴ △ABM≌△CDN(SSS) ∴ ∠A=∠NCD,∠ABM=∠D(全等三角应角相等), ∴ AM∥CN,BM∥DN(同位角相等,两直行)。 三、已知两角对应相等 1.证两已知角的夹边对应相等,再用ASA证全等。 例6 已知:如图5,点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.求证: AB=DE, AC=DF.(原九义教材《几何》二册44页4题,有改动) 证明 ∵ FB=CE(已知) ∴ FB+FC=CE+FC, 即 BC=EF,
∴ △ABC≌△DEF(ASA)。 ∴ AB=DE,AC=DF(全等三角形对应边相等)
2.证一已知角的对边对应相等,再用AAS证全等。 例7 已知:如图6,AB、CD交于点O,E、F为AB上两点,OA=OB,OE=OF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF. 求证:△ACE≌△BDF. 证明 ∵OA=OB,OE=OF已知),∴OA-OE=OB-OF,即 AE=BF, 在△ACE和△BDF中,
∴ △ACE≌△BDF(AAS)。 四、已知一边与其对角对应相等,则可证另一角对应相等,再利用AAS证全等 例8 已知:如图7,在△ABC中,B、D、E、C在一条直线上,AD=AE,∠B=∠C.\
证:△ABD≌△ACE. 证明∵AD=AE(已知) ∴∠1=∠2(等边对等角), ∵ ∠ADB=∠180°-∠1, ∠AEC=180°-∠2(邻补角定义), ∴ ∠ADB=∠AEC, 在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(AAS)。 |
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