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概念教学必须体现概念的形成过程
──“平面向量的概念”的教学与反思
当前，不重视章节起始课的教学，概念教学走过场，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍．在章节起始时，许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．更令人担忧的是，有些老师不知如何教概念．
李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”[1]以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．
本文是我们继“函数的概念”教学案例[2]后做的又一个案例，主要指导思想是“数学概念……首要表现在概念的形成”[1]，概念教学必须让学生经历概念的形成过程；基本想法是聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律．期待我们的案例能抛砖引玉，希望广大教师积极参与“如何教好数学概念”的讨论．
一、对教学内容的基本认识
《平面向量》是“人教A版”数学4的一章，本节课包括“章引言”和“2.1平面向量的实际背景及基本概念”两部分． 在配套的《教师教学用书》中，介绍了章头图和章引言的编写意图，其中有这样的叙述：“章引言说明了向量的研究对象及研究方法，揭示了向量与几何、代数之间的关系，运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决……”．因此，“章引言”（包括“章头图”）起“导游图”作用，是本章学习的“先行组织者”，应有充分的重视．教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解，以避免空洞说教．
许多老师认为，“平面向量的实际背景及基本概念”一节“概念多但不难理解”，但我们认为“其实不然”．事实上，从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．
这里，为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念（数及其运算、直线（段）的平行关系等）类比与联系是值得重视的．在学生的已有经验中，与本节内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等，这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供“固着点”．具体教学时，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系．要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”：从具体背景中抽象出共同本质特征——定义——表示——定义“相等”（这件事情很重要，但往往不被注意）、“单位元”、“0元”——某些特殊关系．由此看来，向量概念的形成并不是一件容易的事情．
二、教学过程概述
2009年11月初，在河南省举办的高中数学课标教材跟进式培训中，我们以本节课为载体开展了概念教学的研讨活动．下面呈现的是教学设计和课堂中发生的主要事件．
1．向量概念的形成
1．1 让学生感受引入概念的必要性
引子：甲、乙两车分别以v1=40km，v2=50km的速度从同一地点出发向北行驶．2小时后，它们相距20km．
甲、乙两车分别以v1=40km，v2=50km的速度从同一地点出发，甲车向北，乙车向南．2小时后，它们相距180km．
它们的行驶速度一样，为什么2小时后的距离相差这么大？
意图：向量概念不是凭空产生的．用这一简单、直观例子中的“速度不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容．
问题1 你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？
意图：激活学生的已有相关经验． （学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量．）
追问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．
意图：形成区别不同量的必要性． （学生所举的例子有年龄、身高、面积等．）
概念抽象需要典型丰富的实例．让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备．
T：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．类似于从一支笔、一本书、一棵树……中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量（板书概念）．
1．2 向量的几何表示
问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它．怎样把你所举例子中的向量表示出来呢？
意图：让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量． （让学生在黑板上画．学生画了用带有箭头的线段表示力，开始时没有对带箭头的线段加注起点、终点的字母，也没有给出大小，写出的f 上方没有加箭头．教师引导学生不断完善，最终形成了用带箭头的线段表示向量．有的学生还标出了单位长，以比较两个向量的大小．）
T：看来大家都认为用带箭头的线段表示向量比较好．在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示线段．现在，我们加上箭头，用，，，，等表示向量．以前AB与BA表示同一线段，现在和表示同一向量吗？为什么？
S：不．向量和起点、终点正好相反．
T：对，方向是向量的本质属性之一．向量的另一本质属性是大小，我们用||表示，称为向量的模．同样，用||来表示向量的模．因为向量有大小和方向两个要素，只用代数形式或几何形式是无法确定的，必须两者结合．
1．3 零向量与单位向量
T：现在，我们已经建立了一个向量的集合．就象每个人都有名字一样，这个集合中的每一个向量都有了名称．那么
问题3 你认为在所有向量组成的集合中，哪些向量较特殊？
意图：引导学生学会观察一组对象．面对一组对象，首先注意特殊对象是自然的． （学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的．）
T：大家为什么认为它们最特殊？你们是怎么想的？
意图：挖掘结果背后的思维过程．企图引导学生把向量集合与实数集类比． （课堂中，学生从长度这个角度进行了解释，认为零向量的长度是0，单位向量的长度是1，最为特殊．这表明他们已经在把向量集与实数集作类比．从实数集的认知经验出发，自然会想到零向量、单位向量的特殊性．）
T：是的．类比实数的学习经验有利于向量的学习．在实数中，0是数的正负分界点，有0就可定义相反数；1是“单位”，作用很大．对实数的研究经验告诉我们，“引进一个新的数就要研究它的运算；引进一种运算就要研究运算律”．可以预见，引进向量就要研究向量的运算，进而就要研究相应的运算律或运算法则．所以，对于向量，还有许多内容等待我们去研究．
2．相等向量、平行向量、共线向量、相反向量概念的形成
问题4 观察图1中的正六边形ABCDEF．给图中的一些线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系．（举例）
意图：不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义，再做练习巩固，而是让学生参与概念的定义过程，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物．
留给学生足够的时间，并提出问题5，组织学生交流．
问题5 你是怎样研究的？比如，你画了哪几个向量？你认为它们有怎样的关系？
意图：不仅关注结果，更要关注过程．尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程． （课堂中，有的学生首先关注大小；有的学生首先画出向量与，认为它们长度相等且方向相同，是相等的向量；也有学生首先画出向量
归纳得到： （1）从“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，记为 ∥； （2）从“长度”角度看，有模相等的向量，||=||； （3）既关注方向，又关注长度，有相等向量=，相反向量=－．
T：我们规定：零向量与任意向量都平行，即∥．
问题6 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模确定．由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别？
意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程．
3．阅读课本
请同学们把课本看一遍，看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致，有什么遗漏？有什么不同？
意图：通过阅读，对本课的内容再一次进行归整、明晰．引导学生重视课本．
4．课堂练习
教科书P77中的“练习”部分．
5．课堂小结
问题7（引导学生自己小结）能否画个图，把今天学的内容梳理一下？ （有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分，与图2所呈现的内容基本一致，只是把“特殊关系”说成了“向量的性质”，这也是正确的．教师肯定了她的结论，展示了图2．）
T：今天我们学习向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量这个集合，发现了其中的两个特殊向量，以及向量之间的一些特殊关系．同学们要认真体会其中的基本思路，即：从同类具体事例中抽象出共同本质特征——下定义——符号表示——认识特殊对象——考察某些特殊关系．
这里特别要注意，因为向量带有方向，所以只用代数的形式已无法表示，必须结合几何的形式．因此，向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”．随着学习的深入，我们会看到这种身份给向量带来的力量．
另外，我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合．我们知道，数与运算分不开，数的概念的发展也与运算不可分割．例如，为了解方程x2=2，我们需要有无理数概念，于是要有“开方”运算．引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种运算，就要研究相应的运算律．今天我们引进了一个新的量——向量，下面我们该研究它的哪些问题？如何研究？请同学们课后认真考虑，下节课来交流．（说罢，教师在“特殊关系”的右边增加了省略号“……”．）
6．布置作业（略）．
三、教学反思
1．起始课应把“基本套路”作为核心目标
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用．因此，本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面： （1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的特征； （2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量（主要是联系数及其运算、直线（段）的平行和共线等）； （3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路（思路）．
如果从更深层次考虑，上述目标更本质的是“数学育人”．数学课堂应始终把育人目标放在首位，当然要将它融入知识的教学中．本课似乎“没什么东西可讲”，也没什么难点，因此不愁完不成教学任务，但这只能指陈述性（或明确）知识目标的实现．向量概念的重要性不言而喻，而作为“起始”，本课的教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图”的大气．要让学生感受到数学概念产生、发展的基本过程，体会到研究数学问题的基本套路，进而提高提出问题、研究问题的能力，这才算充分挖掘了本课内容的育人资源，才算体现了向量概念的教学价值．
2．概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动
前已述及，许多老师认为本课概念多但不难理解．多次观摩本课的教学，看到的大多是沉闷的课堂，教师讲得乏味，学生学得无趣．事实上，许多概念课都有这种弊端．有的老师可以把解题讲得头头是道，但概念教学就没词、没招了．我们认为，概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的理由．
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中；另一方面要让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与．
概念的形成过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件．比如，考察司空见惯的“量”，有的“只有大小没有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比较中就产生了区别的需要，这就是向量概念的生长点．与人出生后要起名字一样，我们要给新的数学对象命名，并且要与它的本质相吻合，要区别于其他概念，“方向”就成了区别的标准，没有“方向”的叫数量，有“方向”的叫向量，概念的产生自然而然．
概念抽象需要典型实例．谁来找例子？教师自作自画，自己举例、概括，自己给定义，就可能枯燥乏味．比如，告诉学生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，学生被动听，没有参与机会，不仅枯燥乏味，而且会使学生理解不透．如果让学生举例，要求尽量举不同的例，就会迫使他们开动脑子，就有可能举出不同的、有趣的例，就会百花齐放．这样，生动活泼的场面自然形成，而且在举例过程中，有独立思考、合作交流，甚至有争辩，这就形成了促进概念理解的机制．让学生举例可以促进学生思维的深度参与，因为好例子需要以理解概念的本质属性为基础．实际上，概念教学中的“参与”，其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动．
举例后，还要让学生讲理由，让其他同学来补充，相互启发、交流互动，生动活泼的局面自然就出现了．比如，探索“向量的表示”时，一个学生在黑板上画了带箭头的线段表示力，但没有用字母标注起点、终点．笔者没有替他标上，而是问：“大家有什么要补充的吗？”有几位同学不请自来，有的标上字母，有的标出大小……经过教师启发和全班努力，终于明确了向量的几何表示的正确方法．在这个过程中，全体同学热情参与，自我教育、互帮互学，想让课堂不生动活泼都难．也许有人认为，这是小题大做，浪费时间．但我们认为这样做不仅使课堂生动活泼，更重要的是体现概念的形成，这才是落实双基的教学，长期坚持可以让学生养成好的学习习惯．如果总是老师替学生完善表达，不仅生动活泼的局面难以形成，更糟糕的是剥夺了学生的思考机会．
事实上，由于数学概念的高度抽象性，对任何一个貌似简单的概念，学生往往都要费很大周折才能理解。许多教师对此不能保持高度警觉，常常认为自己容易的学生也然，没有意识到自己的“容易”是经历了千辛万苦、长期积累才得到的。这种心理导致了师生交流的许多障碍，是造成教师不是从学生的角度出发，针对学生的理解困难展开教学的主要原因。因此，教师要对这种心理保持高度警惕，努力从学生的认知水平出发，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是非常要紧的．
3．概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”
“人教A版”的主编寄语中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的．如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味．”我们认为，这应该成为概念教学的基本指导思想．概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．本课的教学，我们力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的课题．
从课堂教学的要求看，概念教学的自然和水到渠成应包括两方面：一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然．“自然的概念教学过程”是上述两方面的融合．因此，向量概念的教学中，我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义（区别于“只有大小没有方向的量”）、讨论向量的表示（重点是几何表示）、定义特殊的向量、研究特殊的关系（特别是相等向量）．在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，主要强调了“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰时恰点地“以问题引导学习”，在“追问（质疑）——反思”的过程中深化概念的理解，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果．
4．“创造性地使用教材”的前提是深刻理解教材
本次课改提出“用教材教”“创造性地使用教材”的理念，这对教师理解和处理教材提出了更高要求．我们认为，深刻理解教材的编写意图是“创造性地使用教材”的前提．
“平行向量”、“共线向量”等概念，教材是这样呈现的：先介绍概念，然后以一个例子作为概念的应用与巩固；“相反向量”在向量的减法运算中给出．教科书按知识的逻辑顺序呈现，无疑是正确的．如果按教材顺序组织教学，一定能顺利完成任务，学生也会掌握得不错．但这是“教师告诉，提醒注意，练习巩固”的办法，学生的主动思维无法调动．因此我们根据教材的基本思路，先让学生研究问题4，目的是给学生参与概括概念本质特征的机会，实实在在地经历概念的形成过程．观察过程中，必然要利用向量的定义，要从“方向”和“大小”两个方面展开思考．于是，平行向量（共线向量）就很容易被概括出来；相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然．教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义．
值得指出的是，这样处理教材，自然而然地要求学生联系相关概念．比如，由图形呈现的“平行直线段”自然产生了“平行向量”；再增加长度相等、方向相同或相反，就产生了相等向量或相反向量．属差决定了向量之间的区别，就有了引入新概念的必要性．这里，学生还经历了对向量的关系进行分类的思考：以是否平行为标准，一类是共线向量（平行向量），另一类是不共线向量（不平行向量），这是由向量的“方向”属性决定的．如何区分不平行的向量？又有了引入新概念的必要性，这就是向量的夹角（这是后话）．
总之，这样处理教材后，我们构建了一个真正的问题情境，学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法．从课堂小结看，这一目标已经实现。学生不仅能说出具体知识，而且还能准确地说出“分成三个部分”——向量的表示、特殊向量、特殊关系（说成向量的性质）．这些是课本中找不到的，需要具有一定概括能力．
5．明确零向量的意义与作用，不过分纠缠于细节
本课的教学中，大多数教师都不恰当地在“零向量与任意向量平行”上狠下功夫，原因是“这是考试中的一个陷阱”．我们认为这是对零向量的意义和作用理解不到位的表现．
首先，规定“零向量与任意向量平行”是完善概念系统的需要．“平行向量”是向量间的关系定义，自然应针对全体向量而言，不能排斥零向量．因此，需要对平行向量的概念加以补充定义．由于零向量的长度为零方向任意，因此，规定“零向量与任意向量平行”也在情理之中．
其次，就像数0的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义．例如，，，都是非零向量，如果+=0，则与是相反向量；如果++=0，则，，首尾相接围成三角形；等．这些结论在解决几何问题时作用很大．
因此，孤立地讨论零向量与任意向量平行没有多少意义，更不应作为考题津津乐道地考学生．本节课上，我们只明确了这一规定，没有耗费过多笔墨。否则，把注意力吸引到这里，就把简单问题复杂化了．
四、结束语：追求概念教学的本来面目
我们在“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题研究中提出，一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．这是因为“数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材．数学是玩概念的，数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式、方法迁移能力也最强．所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握‘书本知识’，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力．”[3]概念教学要返璞归真，在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目．要让学生参与概念本质特征的概括过程，这是概念教学中培养学生的创新精神和实践能力的必由之路．
参考文献:
[1]李邦河．数的概念的发展[J]．数学通报，2009，48（8）：1-3． [2]章建跃，陶维林．注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J]．数学通报，2009，48（6）：19-24，48（7）：29-31． [3]章建跃．数学概念教学中培养创造能力[J]．中小学数学（高中版），2009（11），封底 [4]普通高中课程标准实验教科书·数学必修4（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2007，2．第2版．
发表在《数学通报》2010年第1期 |
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