倍数与因数奥数测试题

倍数与因数奥数测试题(2009-09-27 16:42:50)

人教版《因数与倍数》

一、基础与提高。

1、教学目标：

（1）认识自然数、整数、倍数、因数；

(2)认识奇数和偶数，掌握2，3，5的倍数的特征。

(3)在1-100中，能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。

(4)在1-100中，能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

（5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。

2、基础知识讲解：

●自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

如果a能被b整除，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。

●能被2，3，5整除的数的特征：

2的倍数特征：个位是0，2，4，6，8的数

5的倍数特征：个位是0，5的数

3或9的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3或9整除。

4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除。

8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。

11的倍数的特征：奇数位的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。

●奇数与偶数：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。

质数与合数：一个数除了1和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数）。一个数除了1和它本身外，还有别的因数，这个数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。

●最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。

特殊情况：倍数关系：（m，n）=m      [m，n]=n  （n是m的倍数）

              互质关系：（m，n）=1      [m，n]=mn

3、经典例题：

例1：下列哪些式子是整除式？

（1）8.8÷1.1=8        （2）130÷10=13

（3）29÷7=4……1      （4）14÷5=2.4

     分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必须是整数，商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。

 

例2：写出24的因数和倍数。

分析与解：因为1×24=24    2×12=24    3×8=24    4×6=24

所以24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24

因为24×1=24，24×2=48，24×3=72，24×4=96……

所以24的倍数有24，48，72，96……

 

例3：一个数万位上是最小的合数，百位上是最大的一位数，个位上是最小的质数，百分位上的数既不是质数也不是合数，其余数位的数字是零，这个数是多少？

    分析与解：最小的合数是4，最大的一位数是9，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1。所以这个数是40902.01。

 

例4：1路汽车每隔3分钟发一次车，3路汽车每隔5分钟发一次车。这两路车同时发车后，至少再过多少分钟后又同时发车？

    分析与解：1路汽车每隔3分钟发一次车，就是指发车时间是3的倍数，3路汽车每隔5分钟发一次车，就是指发车时间是5的倍数。至少再过多少分钟又同时发车一次，只要求是3和5的最小公倍数即可。

    [3，5]=15。

   答：至少再过15分钟后又同时发车。

 

例5：小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方形，最后没有多余，请问这些正方形的边长是多少？一共可以折出多少个正方形？

    分析与解：要想使最后没有多余，那么正方形的边长必须是36的因数，也必须是24的因数，这些因数里最大的一个就是正方形的边长。

    （36，24）=12

     36÷12=3

     24÷12=2

     3╳2=6

    答：这些正方形的边长是12厘米，一共可以折出6个正方形。

 

例6：为庆六一，六年级同学买来336枝红花，252枝黄花，210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少束同样的花？在每束花中，红、黄、粉三种花共有几枝？

    分析与解：要使每一束花的花束最多，并且没有剩余，就是求每束花的最大公因数。

    （336，252，210）=42

     336÷42=8

     252÷42=6

     210÷42=5

     8+6+5=19（支）

     答：这些花可以扎成每束最多42束同样的花，在每束花中，红、黄、粉三种花共有19支。

 

4、数学思想方法总结：

   在实际应用时,如何区分是求最大公因数还是求最小公倍数,成为很多学生的难题.其实,可以把问题模型化,画一些简单的示意图就可解决.例如把一个长方形裁成若干个边长最大的正方形,动手一画,就发现是要求长与宽的最大公因数.把若干个长方形拼成一个边长最小的正方形,动手一画,就发现是要求长与宽的最小公倍数.

5、设计构想：

    <倍数与因数>的知识点相当多,概念特别容易混淆,建议同学们把这部分知识整理成知识树,理清它们的区别与联系。本单元的题型也很多，通过各种各样的题型练习，同学们可以学会如何审题，找到具体问题与实际知识点之间的联系。

6、巩固练习：

1、写一个能同时被4和25整除的最小五位数。

   分析与提示：4和25是互质数，同时能被4和25整除的数一定是100的倍数，这个最小五位数是10000。

 

2、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合，甲齿轮有28个齿，乙齿轮有42个齿，当这两个齿轮第二次咬合时，乙齿轮转了几圈？

    分析与提示：[28，42]=84

    84÷42=2

    答：乙齿轮转了2圈。

 

3、（1）A和B都是自然数，若A÷B=10，那么A与B的最大公因数是（    ），

最小公倍数是（    ）。

（2）若A=3×2×5×7   B=3×5×2×11，则A和B的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。

    分析与提示：（1）A和B是倍数关系时，且A大于B，A与B的最大公因数是B，最小公倍数是A。

    （2）A和B的最大公因数是3×2×5=30，最小公倍数是3×2×5×7×11=2310。

 

4、有两个数，它们的最大公因数是15，最小公倍数是225，其中一个数是45，另一个数是多少？

    分析与提示：两个数的积等于这两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数。所以另一个数是15×225÷45=75。

 

5、有两个数，其中的一个数是另一个数的，已知它们的最小公倍数是54，那么这两个数的最大公因数是多少？

     分析与提示：将“其中的一个数是另一个数的”这句话进行转化得：“另一个数是这个数的3倍”，可发现，当两个数是倍数关系时，它们的最小公倍数就是较大的那个数，所以这两个数分别是54和18，它们的最大公因数是18。

 

6、长和宽为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？

        分析与提示：因为105=1╳105=3╳35=5╳21=7╳15

        可把每一组数据当做长方形的长和宽，故有5种。

 

7、一个长方形的面积是240平方厘米，长和宽是相邻的两个自然数，这个长方形的周长是多少厘米？

         分析与提示：240=15╳16，所以这个长方形的周长是（15+16）╳2=62厘米。

 

8、把14、33、6、55、35、49这六个数平均分成两组，使这两组数各自的积相等。

        分析与提示：先把这6个数分解质因数：

        14=2╳7

        33=3╳11

        6=2╳3

        55=5╳11

        35=5╳7

        49=7╳7

       在这6个因式中，共有2个2，2个3，2个5，2个11，4个7。

       所以这两组只能是49，6，55和14，35，33。

 

二、数学能力的拓展与提高。

1、数学思维方法的讲解。

（1）在求公倍数时，每3天去一次与每隔3天去一次并不一样，要注意区别。

（2）求一个数的因数有多少个，有一个公式，请同学们掌握，同时可以用来检验找因数时是否有遗漏的情况。

 

2、数学思维方法的应用。

例1：若A=3²×5⁴×7⁵，那么A有多少个因数？

     分析与解：A的因数含有因数3的有3种情况，含有因数5的有5种情况，含有因数的有6种情况，搭配起来，共有3╳5╳6=90种情况。

     答：A有90个因数。

     由上题我们可发现求因数个数的计算方法：

     若A分解因式的结果是：

     A=a^m×bⁿ×……×c^p

     那么A的因数有（m+1）×（n+1）×……×（p+1）个。

 

例2：有0，1，5，7，6五张卡片，从中选出四张组成一个四位数，使得这个数能被2整除，又能被3整除，这个数最大是多少？

      分析与解：先选择较大的数。若选择7，6，5，1四个数，不管组成的数是多少，都不能被3整除，故选择7，6，5，0四个数字，这个数最大是7650，它既能被2整除，又能被3整除。

 

例3：六年级72名学生共捐款（ ）85.9（）元，若每人捐款的数量两样多，请你推测每人捐了多少钱？

       分析与解：因为72=8×9，8和9互质，所以（ ）859（ ）这个数一定是8和9的倍数。

      若是8的倍数，那么59（ ）一定是8的倍数，只有592是8的倍数。

      若是9的倍数，8+5+9+2=24，只有24+3=27，所以这个数只能是38592。

      385.92÷72=5.36(元)

      答:可推测出每人捐人5.36元。

 

例4：某班学生人数在40与50之间。如果分成6人一组，那么有一个小组少4人；如果分成8个人一组，那么有4个小组各多一人。求这个班的人数。

      分析与解：先假设这个班的人恰好可分成6人一组，也恰好可分成8人一组，那么这个班的人数就是8和6的公倍数，在40-50之间的数满足这个条件的只有48，尝试一下：

48-4=44

44÷8=5……4

满足条件。

答：这个班的人数是44人。

 

例5：从学校到少年宫的路上，一共有37根电线杆，原来每2根电线杆之间相距50米，现在要改成每2根之间相距60米，除两端的2根不需移动外，中间还有多少根不必移动？

        分析与解：先求出学校到少年宫的路程：

        （37-1）×50=1800（米）

         [50，60]=300

         所以第300米、600米、900米、1200米、1500米处的电线杆不必移动。

         答：中间有5根不需要移动。

           

3、巩固练习：

 

1、一个最简分数，分子、分母的和是50，如果把这个分数的分子、分母都减去5，所得分数的值是，原来的分数是（    ）。

A、    B、    C、    D、

    分析与提示：原来分数的分子与分母的和是50，把这个分数的分子和分母都减去5后，现在分子与分母的和是40，分数的值是，现在分数的分子是40÷5╳2=16，分母是24，原来的分数是，故选择B。

 

2、警察查找一辆肇事汽车牌号（四位数），一位目击者对数字很敏感。他提供说：“第一位数字最小，最后两位数是最大的两位偶数，前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2。“你能帮警察叔叔猜出这个车牌号吗？

     分析与提示：最大的两位偶数是98，倒推法得到前两位数是（98-2）÷4=24。所以这个车牌号码是2498。

 

3、一个能被2和3同时整除的四位数，它的千位上的数既是奇数又是合数，它的百位上的数不是质数也不是合数，它的十位上的数是最小的质数，个位上的数是多少？

      分析与提示：千位上的数是9，百位上的数是1，十位上数是2，同时又因为这个四位数能同时能被2和3整除，所以个位上的数可能是0或6。

 

4、一筐苹果不超过250个，3个3个地数，5个5个地数，7个7个地数恰好数完。这筐苹果最多有多少个？

      分析与提示：这筐苹果肯定是3的倍数，5的倍数，7的倍数。[3，5，7]=105，在250以内，这堆苹果最多有210个。

 

5、商店里有6箱货物，分别重16，17，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍。问：商店里剩下的1箱货物重多少千克？

       分析与提示：这6箱货物共重16+17+18+19+20+31=121千克，因为一个顾客的货物是另一个顾客的2倍，这两个顾客买走了其中的5箱货物总重一定是3的倍数，只有121-16=105，121-19=102，121-31=90满足条件。

       105÷3=35       35=17+18      满足要求；

       102÷3=34       34=16+18      满足要求；

       90÷3=30                      不满足要求；

       答：商店里剩下的1箱货物重16千克或19千克。

 

6、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

       分析与提示：甲跑一圈需要时间：600÷3=200（秒）

                   乙跑一圈需要时间：600÷4=150（秒）

                   丙跑一圈需要时间：600÷2=300（秒）

                   [200，150，300]=600

       答：经过600秒三人又同时从出发点出发。

 

7、500位同学站成一排，从左到右数“1，2，3”报数，凡报到1和2的离队，报3的留下，向左看齐再重复同样的报数过程，如此进行了若干次后，只有两位同学了，这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个？

      分析与提示：第一次报数留下的人是3，6，9，12，……恰好是3的倍数。

      第二次报数留下的人是9，18，27，……恰好是9的倍数。

      第三次报数留下的人是27，54，81，……恰好是27的倍数。

      第四次报数留下的人是81，162，243，……恰好是81的倍数。

      第五次报数留下的人是243，486号同学。

      答：这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第243号和第486号。

 

三、数学思维训练。

1、经典例题：

例1：在六位数568□□□的方框中填入三个数字，使这个六位数能被3，4，5整除。求满足条件的最小的六位数。

分析与解：设六位数为568ABC，因为六位数分别是3，4，5的倍数，所以：

（1）5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍数，即A+B+C被3除余2。

（2）BC 是4的倍数。

（3）C=0或5。

由此可知，C=0，且B是0，2，4，6，8之一。

由于要求最小的六位数，所以A从最小数开始试验，有A=0、B=2时满足条件。所以所求的六位数为568020。

 

例2：已知七位数92AB427能被99整除，求这个七位数。

分析与解：因为99=9╳11，且9和11互质，所以所求的七位数要能被9和11整除。有：

（1）9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍数，得：

A+B=3或    A+B=12

（2）9+4+7+A-（2+2+B）=16+A-B是11的倍数，得：

A-B=6或  B-A=5，

对比条件可知，只有当A+B=12，A-B=6时，A、B有解：

A=9  ，B=3

因此所要求的数是：9293427

 

例3：把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

分析与解：要把长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数。

1米3分米5厘米=135厘米

1米5厘米=105厘米

（135，105）=15

长方形的面积是：135╳105=14175（平方厘米）

正方形的面积是：15╳15=225（平方厘米）

共可裁成正方形纸块：14175÷225=63（张）

 

例4：一盒铅笔，可以平均分给2，3，4，5，6个小朋友，这盒铅笔最少有多少支？

分析与解：这些铅笔可以平均分给2，3，4，5，6个小朋友，因此，铅笔的支数一定是2，3，4，5，6的公倍数，求铅笔最少有多少支，就是求2，3，4，5，6的最小公倍数。

[2，3，4，5，6]=60

 

例5：两个质数的和是50，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

     分析与解：把50表示为两个质数的和，共有四种形式：

50=47+3=43+7=37+13=31+19

经计算发现：31╳19=587最大。

 

例6：试写出十个连续的自然数，个个都是合数。

分析与解：我们要想找出十个连续的自然数而且每个数都是合数，显然1，2，3，4，5，6，7，8，9，10是不行的，因为这十个自然数不是个个都是合数。

我们设K=1╳2╳3╳4╳5╳6╳7╳8╳9╳10╳11

那么K+2，K+3，K+4……K+11为连续的10个数。

K是2的倍数，所以K+2能被2整除；

K是3的倍数，所以K+3能被3整除；

K是4的倍数，所以K+4能被4整除；

……

K是11的倍数，所以K+11能被11整除。

所以K+2，K+3，K+4……K+11为连续的10个合数。

 

2、数学思维训练题：

 

1、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小明现在的年龄各是多少？

      分析与提示：此题先可以这样想：

设小明今年X岁，爷爷今年就是7X岁。再过A年，可列方程：

6（X+A）=7X+A

解得X=5A

再过B年，可列方程：

5（X+B）=7X+B

解得X=2B

所以X既是5的倍数，又是2的倍数，所以X是10的倍数。可从10尝试验证。恰好得到爷爷今年70岁，小明今年10岁。

 

2、甲、乙两人在400米的环形跑道上晨练，甲跑一圈需要70秒，乙跑一圈需要75秒，两人约好同时从起点出发，到两人同时回到终点时结束晨练，那么这次晨练他们用了几分钟？

      分析与提示：[70，75]=1050。

1050÷60=17.5(分)

      答:这次晨练他们用了17.5分钟。

 

3、有一根绳子，分别在它的10等分处、12等分处和15等分处剪断，那么这根绳子最后被剪成几段？

      分析与提示：假设这段绳子长60米。

       60÷10=6（米）

       60÷12=5（米）

       60÷15=4（米）

      10等分和12等分重叠的地方在30米处；

      10等分和15等分重叠的地方在12米、24米、36米、48米处；

      12等分和15等分重叠的地方在20米、40米处。

      9+11+14-7=27

      27+1=28（段）

      答：这根绳子最后被剪成28段。

 

4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和

方向完全相同，小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长。

      分析与提示：[54,72]=216

                  216÷54=4(步)

                  216÷72=3(步)

                  4+3-1=6(步)

                  60÷6╳216=2160(米)

          答:花园的周长是2160米。

 

5、有一根长方体木料，它相邻两个面的面积是108平方分米和32平方分米，长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米，如果把它锯成若干个小正方体并能拼成一个大正方体，那么这个长方体的长、宽、高各是多少？这根长方体木料最少能锯成几个小正方体？需要锯几次？

         分析与提示：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，可列式：

         Ab=108   bc=32

         108=2╳2╳3╳3╳3     32=2╳2╳2╳2╳2

         由上可知宽一定是108和32的公因数(1除外),所以:

         B=2或4

         那么它的长、宽、高分别为54，2，16或者是27，4，8。

         当长、宽、高分别为54，2，16时，最少可锯成棱长是2厘米的小正方体共：（54╳2╳16）÷（2╳2╳2）=216（个）。需要锯的次数为：

54 ÷2=27    27-1=26（次）

16÷2=8      8-1=7（次）

共    26+7=33（次）

           当长、宽、高为27，4，8时，最少可锯成棱长是4厘米的小正方体，除去余料，共：（24╳4╳8）÷（4╳4╳4）=12（个）。需要锯的次数为：

             27÷4=6……3   

             8÷4=2       2-1=1（次）

           共  6+1=7（次）

 

6、爷孙俩人今年的年龄乘积是693，4年前他们的年龄都是质数，爷孙俩人今年各多少岁？

       分析与提示：先将693分解质因数：

           693=3╳3╳7╳11

           根据一般生活情况，爷爷和孙子现在的年龄只可能分别是：63岁和岁11，77岁和9岁，99岁和7岁。而4年前他们的年龄都是质数，爷孙俩今年各是63岁和11岁，或77岁和9岁。

 

7、一个长方体的正面和上面和面积和是209平方米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

        分析与提示：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，列式等式：ab+ac=209，即a（b+c）=209，a（b+c）=11╳19，而a，b，c都是质数，满足条件的数只有2，11，17。所以这个长方体的体积是374立方米。

 

8、把一个一位数的质数A写在另一个两位数的质数B的后面，得到一个三位数，这个三位数是A的87倍，求A和B。

       分析与提示：可列式：10B+A=87A

                           86A=10B

                     可得A=5，B=43