空间望远镜中的定位陀螺仪（作者保留版权）
空间望远镜是上个世纪八十年代的设计，它所采用的是经典的定位陀螺仪。现代陀螺仪主要是指激光光纤陀螺仪和集成电路式的硅片陀螺仪。但是为了更好地了解现代陀螺仪的原理和设计，我们很有必要对经典的陀螺仪的原理和设计作一些简单的介绍，这就是这个系列的主要任务。以后有时间，我还会对现代陀螺仪进行详细介绍。
图１飞行器中的坐标系的关系
在飞行器的运动过程中，飞行器有一个自身的坐标系
。另外在空间还有一个相对的固定坐标系
。这两个坐标系的原点是相同的，它就是飞行器本身的位置。在这两个坐标系中
平面和飞行器所在的水平面重合，
轴与水平面垂直，指向地心，
轴指向当地正北，
平面和飞行器自身的平面重合，
轴指向飞行器的正前方，
指向和飞行器相垂直的下方。飞行器自身的坐标系和固定坐标系的关系可以用三个欧拉角来描述，它们分别是飞行器的机身的翻滚角
（
轴的转角，英文中叫roll），飞行器前后的俯仰角（轴的转角，英文中叫pitch），和飞行器的方位角（轴的转角，英文中叫yaw）。从固定坐标系到飞行器坐标系的变换为简单的欧拉变换。如果飞行器相对于，和轴的角速度分别是，和，则它们之间的关系为：
上面的公式可以用来求解欧拉角的变化率，因此：
上面的三个公式非常重要，通过这三个公式可以求出欧拉角的速率，这时如果它们的初始值知道，则可以通过积分求出它们的瞬时值。
图２无约束陀螺仪的原理图
经典的陀螺仪一共有两个大类：无约束陀螺仪和约束式的速率陀螺仪，前者又叫做姿态陀螺仪，后者也叫做速率陀螺仪，前者测量角度，后者测量角速度。姿态陀螺仪的基本原理就是角动量守恒，在没有外力矩的情况下，高速旋转的转子的角动量的大小和方向在惯性空间中保持不变。这就是牛顿第一定律的内容。而速率陀螺仪的基本原理是牛顿第二定律，由于飞行器的速率的变化会在相应的轴上产生力矩，而这个力矩会通过弹簧平衡机构来加以抵消。
经典陀螺仪的基本结构是一个高速旋转的转子和各自分别固定在两个轴承上的两个框架。旋转转子的轴一般处于竖直的位置，所以紧靠转子的内框架是在竖直面上，而另一个框架则位于水平面上。这样的装置的两个框架的轴线全部在水平面上。一般外框架的外轴承固定在飞行器结构上，飞行器的轴线和外框架的轴线相平行，把外框架的轴线记着轴，把内框架的轴线记着轴，把向下的转子的轴线记着轴，则可以定义系统的转动惯量：
| (1.3) |
在陀螺仪中，结构相对于三个轴线是对称的，所以上面式子中所有的项均为零。如果用来表示系统的角速度，则总的角动量为：
| (1.4) |
角动量矢量对时间的变化率就是相应的力矩矢量：
| (1.5) |
在姿态陀螺仪中，要求各个轴承的摩擦力很小，所以系统的角动量为：
| (1.6) |
这样在飞行器姿态变化时，它的翻滚角和俯仰角可以在外框架的内外轴承上测量出来。如果要测量方位角的变化，则应该有一个方位陀螺仪。在方位陀螺仪中转子的轴线方向处在水平面之中。如果不使用方位陀螺仪，也可以用一种地磁的的仪器。在这一类陀螺仪中，结构的不平衡，结构重心的偏离和轴承的摩擦力是这种陀螺仪的最主要的误差来源。这些因素引起了一定的力矩，使得陀螺仪的方位产生漂移。另一个问题是从公式(1.2) 引起的，由于处在分母上，所以这种结构在俯仰角等于时，会产生奇点。这几点对速率陀螺仪也是一样的。
从上面的公式(1.5) 出发，如果姿态陀螺仪受到的角速度为：
| (1.7) |
则所产生的力矩为：
同样，当陀螺仪受到在和方向上的力矩时，在与其互相垂直的方向上会产生相应的角速度：
| (1.9) |
图３运动体中角速度的方向和相应的输入力矩和输出力矩的方向之间的关系
通过这个公式，我们可以计算出当飞行器沿着某一个方向有速度变化时，仪器重心的微小偏差就会在这个方向上产生一个很小的力矩，这样在陀螺仪的一个方向上就会产生一个角速度。而这个速率的变化的积分就是这个姿态陀螺仪的在该方向上的漂移角。在没有补偿的情况下，这个误差值可能会很大，达到几度。这对于空间望远镜的定位是不行的。这个误差值的计算过程比较简单，首先根据转子的设计求出它对轴的惯性矩，根据转子的速度和惯性矩求出它的的值。如果仪器的重心偏低，则在飞行器在轴方向上加速时，这时在仪器方向上的力矩就等于，式中是仪器的总的质量。有了这个力矩，就可以计算出这个角速度和最后的角度偏离值。同样也可以求出因为轴承摩擦力所引起的力矩值以及最后的角度偏离值。由于摩擦力是一个随机变量，精确的计算要用到自相关的概念。
图４具有闭环控制的竖直陀螺仪的原理图
从系统的特点讲，姿态陀螺仪是一个开环控制系统，它的误差随时间的推移而向外发散。为了克服这个问题，一种较为复杂的陀螺仪采用了一种简单的闭环控制系统，这种陀螺仪叫着竖直陀螺仪。竖直陀螺仪为了保证旋转的转子的轴线始终保持竖直的方向，在内框架的上部放置了两个互相成直角的电阻式的水准仪。这种水准仪是一种成弧形的玻璃容器，内有三个电极，一个在中间的下方，两个在两侧的上方，容器中装有导电的液体，中间有一个气泡。当容器处于水平状态时，从中间电极到两侧的电极的电阻值相同，而当容器偏离水平面时，两侧的电阻值会有一个差别。这个差别的信号通过电路输入到和轴端相连的电机中，驱动电机使内框架返回到竖直的位置。
图５竖直陀螺仪中的两个水准仪的角度测量
关于在传感器中引入闭环控制系统的优越性的讨论可以作为另一篇文章的选题，这里不可能详细介绍。但是简单地讲闭环系统避免了误差的发散，提高了系统的分辨率，增大了系统的动态范围。在介绍竖直陀螺仪的时候，我们要指出竖直位置在惯性系统中并不是一个稳定的基准位置。随着飞行器在空中的位置的变化，竖直位置和惯性系统中的基准位置有一个角度差，这个在反馈的时候要特别注意。
图６速率陀螺仪的结构示意图
竖直陀螺仪也是姿态陀螺仪的一种，在空间望远镜中应用的不是姿态陀螺仪，而是速率陀螺仪。速率陀螺仪在航空和航天中有广泛应用，它的基本结构和姿态陀螺仪相似，也是一个高速旋转的转子和各自分别固定在两个轴承上的一个或两个框架。简单的速率陀螺仪只有一个框架，用于对一个轴的角速度的测量。这种陀螺仪的外框架直接固定在飞行器上。外框上的两个轴承决定了轴的方向。因此这种陀螺仪只能够感应轴的角速度，输出轴的力矩。速率陀螺仪最主要的特点是在轴承的一侧引进了恢复弹簧机构，同时在内框架的偏斜方向上增加了阻尼。假设陀螺仪的角速度为：
| (1.10) |
则所产生的力矩为：
| (1.11) |
因为框架是固定在飞行器上的，所以，同时，同时这种外框架固定的结构可以不考虑力矩中的后面两项。因此有：
| (1.12) |
这里是转子平面的误差转角。由于这是一个非线性方程，考虑很小，。并且假定，记，有：
| (1.13) |
这个轴上的力矩将由轴承一侧的恢复弹簧的恢复力矩，阻尼力矩和摩擦力矩抵消，因此可以得到方程为：
| (1.14) |
有了系统的微分方程，可以写出它的拉普拉斯变换的形式，求解：
| (1.13) |
这里是系统的自然频率，是系统的阻尼，是系统的输入量，是系统的干扰量。通过调整阻尼值可以使系统阻尼，这样当，有：
| (1.14) |
是陀螺仪的漂移角速度，这是陀螺仪的主要误差来源。为了减少这个误差，可以增大值，减少值。所有这些和陀螺仪的设计，它的大小，重量，转速，轴承摩擦力，结构的精度和机械加工都有关系。这样的陀螺仪一般可以达到的分辨率。为了进一步提高陀螺仪的精度，一种新的设计是使用液体将可以转动的内框架整个浮起来，这样因为轴承上没有重量，在外轴承上摩擦力可以很小。严格地讲，只有在一定的温度下，才能使摩擦力消失，因此这种陀螺仪需要进行温度控制。这种特别设计的陀螺仪称为浮动式速率陀螺仪。这种陀螺仪上的另外一个改进是用一个力矩电机来代替弹簧，通过控制力矩电机的输出来提供内框架的恢复力矩。对于这种陀螺仪，如果不考虑力矩电机的作用，它的传递函数的形式为：
| (1.15) |
这里表达式的简化是因为在低频的情况下，。上面的公式表明这个系统中角度的值可能会无限制地增加，引起发散，这样的陀螺仪是不能工作的。为此该角度值的反馈，放大和输入力矩电机的环节是十分重要的。这样在公式中要加上一项恢复力矩引起的角速度项，有：
式中是放大系数，是电机的力矩参数。
上面的方程求解角度值，有：
| (1.17) |
这样的系统在时，角度值为：
| (1.18) |
如果反馈回路中的放大系数较大，陀螺仪的漂移角就会很小。这是在力平衡的传感器系统中应该出现的情况。这个系统的时间常数同样的和放大系数成反比。
总的来讲，这样的陀螺仪系统有下列优点：１）在平稳状态下，它没有漂移误差。２）角度值总是很小，从而保证了测角装置的线性关系。３）时间常数很小，所以有很快的频率响应。４）在平稳状态下，阻尼系数相互抵消，所以由于温度的小的变化引起的阻尼值的变化不会对陀螺仪的精度有大的影响。
不过为了保证浮力的精确性，温度控制是十分重要的。另外转子的角速度应该十分平稳。只有这样的浮力式的具有反馈系统的陀螺仪，才能有效地保证空间望远镜的精确定位。这种精确的陀螺仪也是许多重要的军用和民用系统的惯性导航部分的重要另件。应该指出这种陀螺仪对于导弹的控制，对于机载雷达和机载望远镜的定位，对于航天飞行器的姿态和坐标控制有着非常非常重要的意义，所以很多国家已经并且不断地投入巨资进行研究和设计，陀螺仪的发展变化很快，所产生的仪器种类也很多，如果有时间，并且大家有兴趣，我们还可以介绍其它各种类型的陀螺仪。
