数学是一门逻辑性很强的学科,学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的关系和推理论证。新教材新增“简易逻辑”内容,介绍一些简单而又实用的逻辑知识,本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系,自觉地使用逻辑规则,避免一些易犯的错误,从而增强判断是非能力和推理能力,提高数学思维能力。
由于新增内容,对于学生来说是较为抽象,在理解上尚一定难度,加之资料书上对这方面谈得少。至此本人根据自已参与新教材的教学实践,谈谈如何来构造比较合理的命题的否定,供师生们参考。
首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”,就构成一个复合命题“非p”(记作“┓P”)称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题,也叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假,一假一真,构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。 《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型:单称命题的否定即简单命题的否定,存在性命题的否定,全称性命题的否定,复合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面一一试述:
1 简单命题的否定 在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。
例1 写出下列命题的否定。 菱形的对角线互相垂直。 的否定:菱形的对角线不互相垂直。
2 复合命题“P且q”;“P或q”形式的否定。 给定命题P、q,用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题(也叫联言命题)。记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q” 叫做命题P、q的析取命题(也叫选言命题)。记作P q。它的否定可以通过真值表来:(“1”表示真,“0”表示假) P q P q P q ┓(P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 从表可知:┓(P q)与 ┓P ┓q的真值相同;┓(P q)与 ┓P ┓q的真值相同,故它们分别是等价命题,因而我们认为“P且q“的否定为:“非P或非q”;“P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示: ┓(P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q 从而知命题“P q”和“P q”的否定:既否定命题P,q;又改变联结词。 例2 写出下列命题的否定。 (1) a=±5。 (2) f(x)=0既是奇函数又是偶函数。 (3) 5是10的约数且是15的约数。 (4) 2+2=5或3<2。 (5) AB∥CD (6) a,b都是0。 解(1)的否定:a≠5且a≠–5。(原命题属于P或q型) (2)的否定:f(x)不是奇函数或不是偶函数。(原命题属于P且q型) (3)的否定:5不是10 的约数或5不是15的约数。 (4)的否定:2+2≠5且3≥2。 (5)的否定:AB∥CD或AB≠CD。 (6)的否定:“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。 可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。 3 复合命题“若P则q”形式的否定。 “若P则q”(记作P q)型命题的否定实质上较复杂,但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题,是具有真假性的命题,不能区分真假性的命题不作研究。 当语句P和q能判断其真假时就成为命题,那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系,其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真,“0”表示假) P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q) 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 从表可知,“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同,故是等价命题。我们就此认为:命题”若P则q”的否定为“P且非q”,且习惯表达为“虽然P,却非q”的形式,或是“尽管P,然而非q”.用符号语言表示: ┓(P q)= P (┓q) 或 ┓(P q)= ┓(┓P q)= P (┓q) 例3 写出下列命题的否定。 (1)若x2+y2=0, 则x, y全为0。 (2)若x=2或x=–1 则x2-x-2=0. (3)若集合B真包含集合A,则集合A包含于集合B。 解:(1)的否定:虽然x2+y2=0,但是x和 y不全为0。 (2)的否定:虽然x=2或x=–1,但x2-x-2≠0.。 (3)的否定:尽管集合B真包含集合A,然而集合A不包含于集合B。 但在教学中发现有些师生把例3的答案写成:(1)若x2+y2=0,则x, y不全为0。(2)若x=2或x=–1,则x2-x-2≠0.是不对的。它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变,结论q否定,且联结词不变的命题”。即为┓(P q)= P (┓q)。实际上,原命题与否定命题应属于矛盾命题,而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题;另方面从真值表可知,当P为假时,它们的真值都为真,故不可成为矛盾命题,因此┓(P q)≠P (┓q)例如“若2是奇数,则7是奇数”与“若2是奇数,则7不是奇数”都为真命题。希教学中切实注意它们的区别。
4 含量词命题的否定。 数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ”与“ ”来表示);由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。那么它的否定又怎么样? 一般地,全称命题P: x A,有P(x)成立;其否定命题┓P为: x A, 使P(x)不成立。存在性命题P: x A,使P(x)成立; 其否定命题┓P为: x A,有P(x)不成立。用符号语言表示: 非(( x)p(x))=( x)非p(x) 非(( x)p(x))=( x)非p(x) 在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性的量词,并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在,否定存在得全称,否定肯定得否定,否定否定得肯定. 例4 写出下列命题的否定。 (1) 所有自然数的平方是正数。 (2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 (3) 对任意实数x,存在实数y,使x+y>0. (4) 有些质数是奇数。 解;(1)的否定:有些自然数的平方不是正数。 (2)的否定:存在实数x不是方程5x-12=0的根。 (3)的否定:存在实数x,对所有实数y,有x+y≤0。 (4)的否定:所有的质数都不是奇数。 但解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若x>3,则x2>9”。在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。 例5 写出下列命题的否定。 (1) 若x2>4 则x>2.。 (2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 (3) 可以被5整除的整数,末位是0.。 (4) 被8整除的数能被4整除。 (5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。 解(1)的否定:存在实数x0,虽然满足x02>4但x0≤2.。或者说:存在小于或等于2的数x0,满足x02>4。(完整表达为对任意的实数x, 若x2>4 则x>2) (2)的否定:虽然实数m≥0,但存在一个x0,使x02+ x0-m=0无实数根。(原意表达:对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。) (3)的否定:存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0.。 (4)的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) (5)的否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两 条不相等。(原意表达为无论哪个四边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。) 由此看来,要准确表达含量词命题的否定,就要求我们掌握好一些词语的否定如下表:
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立 词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立
5 命题的否定与否命题的区别。 命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由:一,任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。二,命题的否定是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假。如下面真值表可知: P q ┓p ┓q” P q ┓p ┓q” 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 三,原命题“若P则q” 的形式,它的否定命题在前面已讲过;而它的否命题为“若非P,则非q”,(记为“若┓p,则┓q”)即是说既否定条件又否定结论。 例6 写出下列命题的否定命题与否命题。并判断其真假性。 (1) 若x>y,则5x>5y。 (2) 若x2+x﹤2,则x2-x﹤2。 (3) 正方形的四条边相等。 (4) 已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0。 解:(1)的否定: x,y(x>y且5x≤5y)。 假命题 否命题:V x,y(x≤y 5x≤5y)。 真命题 (原命题为:V x,y(x>y 5x>5y)。真命题) (2)的否定: x(x2+x﹤2,且x2-x≥2)。真命题 否命题:V x(x2+x≥2, x2-x≥2)。假命题 (原命题为:V x(x2+x﹤2, x2-x﹤2)。假命题) (3)的否定:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等。假命题 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题 (原命题是真命题 。 看例5(5)) (4)的否定:存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集,但使a2-4b﹤0。假命题 否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b﹤0。真命题 (原命题为:对任意的实数a,b, 若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0真命题)
在教学中,务必理清各类型命题形式结构,性质关系。才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
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