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解密高考数学尖子生解题思维
最近一位贵州的同学给我打来电话，说，她的同桌是班级上排名第7、8的同学，原因是英语一直都是90分左右，很拉他的分数。但是看了玖久的《专项突破英语》之后，这个学生在月考中英语成绩快速的提升到115分。排在全班第2名。这个现象说明什么呢？尖子生得分的关键因素是他们的思维效率非常高。而中等生在向尖子生转变的过程中，对他们的思维进行适当训练，就可以让他们化腐朽为神奇。玖久教育将尖子生的解题思维解构成四个部分，中等生只要按照这四个部分去认真执行，数学成绩将快速提升。关于这个思维的教学在，在《专项突破数学》课程中，更有详细讲解。大家可以从视频中找到灵感。
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性 :根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案
二、数学思维的反思性 :提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。
三、数学思维的严密性 :考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。
四、数学思维的开拓性 :对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。
《思维与思想》的即时性、针对性、实用性，已在教学实践中得到了全面验证。
第一章 数学思维的变通性
一、变通性的概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）从题目角度出发，善于观察
心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
从做题角度上看，就是一切从题目角度出发，题目让干什么，我们做什么。题目没有提到的，一概先不思考。只有从解题角度上，需要的知识点，题目没有提到的，我们才思考。
由此，我们可以看出，并不是题目难解，而是我们没有观察出题目的关联性。
（2）从条件入手，善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
（3）善于将问题进行转化
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
看到这里，我想，你就会有一个概念，数学是相通的，是可以将一个条件或结论转化为多种形式出现的，一旦你抓住了根本，就能马上做题。一旦没有抓住，而苦苦思索是必然的。
二、思维训练实例
（1） 观察能力的训练
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。做题时不要盲目解题，以题目为主，不要看到题，就联想知识点，这种做题方式只适合简单题，而不适合大题。
（2） 联想能力的训练
思维障碍有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
思路2：由于是选择题，题目只给了一个条件，并且显然必有一个结论是正确的，∠C是钝角，求的是tgA×tgB的值，不妨构造∠A=∠B=30°，∠C=120°，那么问题迎刃而解。这就是根据题目限定的范围，进行的联想。很多选择题，填空题，都可以这么联想。
（3） 问题转化的训练
我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以，进行问题转化的训练是很必要的。
1 转化成容易解决的明显题目
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
2 逆向思维的训练
逆向思维也称为必要性思维。不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
问题的思考角度为：要想得到这个结论，所需要的前提条件是？不断逆推，直到条件可以利用。
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
解析：题目要证明至少有一个不小于1，那么我们不妨假定三者全部小于1，带入验证，发现结果不成立，从而肯定了“至少一个小于1”的结论。用必要性思维进行表达：至少有一个不小于1=如果全部小于1，则不成立。前面的全部例子都可以用必要性思维进行验证。
3 一题多解训练与一解多题训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。这类题型太多，我就不举例子。
在整理大量题的过程中，我们会发现，很多题型虽然考法不同，应用知识点不同，考察形式风马牛不相及，但是整体的思路非常趋于一致！那么这种思路就是“一解多题”的思路。其实一解多题并不神秘，相反非常简单。我们看前面的例题，第一道题求和的思路是，把结论换成熟悉的公式，即简化思想。或者用逆向思维，要想求得这个结论，必须得出什么条件……第二个例题求方程组的思路是，把方程组转化为我们所熟悉的一元二次方程，也是简化思想……再看后面的题，解题过程如果从正向角度而言，不外乎是简化，推导、应用知识点。如果从逆向思维来考虑，也是找到入手点，寻找问题成立或不成立的前提，然后转化条件……这就是一解多题的思想。当然，这里的“解”指的是思路，而不是固定的方法。如果抛却题目难度和知识点的差异，甚至解题的步骤都趋于一致。
今天给大家介绍了数学思维的变通性，希望大家能从中获取一定的启发，即使基础不好，成绩不高，只要肯认真学习，相信是会有好的结果的。另外三个专题在近日内会逐步发布，敬请期待！
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