1900年,希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲,提出了23道最重要的数学问题,这就是著名的希尔伯特的23个问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域,除数学物理外很少涉及应用数学,更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题,7-12是数论问题,13-18属于代数和几何问题,19-23属于数学分析。
以下列出希尔伯特的23个问题:
1 | 连续统假设 | 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法(forcing)证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说,连续统假设成立与否无法由ZFC确定。 |
2 | 算术公理之相容性 | 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。 |
3 | 两四面体有相同体积之证明法 | 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。 |
4 | 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 | 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。 |
5 | 所有连续群是否皆为可微群 | 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。 |
6 | 公理化物理 | 非数学。对于物理学能否全盘公理化,有很多人质疑。 |
7 | 若b是无理数、a是非0、1代数数,那么a^b是否超越数 | 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。 |
8 | 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 | 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。 |
9 | 任意代数数域的一般互反律 | 部分解决。1921年日本的高木贞治,1927年德国的埃米尔·阿廷(E.Artin)各有部份解答。 |
10 | 不定方程可解性 | 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明:在一般情况答案是否定的。 |
11 | 代数系数之二次形式 | 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决,实数的部分则由希格尔于1930年解决。 |
12 | 扩展代数数 | 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。 |
13 | 以二元函数解任意七次方程 | 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。 |
14 | 证明一些函数完全系统(Completesystemoffunctions)之有限性 | 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。 |
15 | 舒伯特列举微积分(Schubert'senumerativecalculus)之严格基础 | 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。 |
16 | 代数曲线及表面之拓扑结构 | 未解决 |
17 | 把有理函数写成平方和分式 | 已解决。1927年埃米尔·阿廷(EmilArtin)已解决实封闭域。 |
18 | 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 | 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成” |
19 | 拉格朗日系统(Lagrangian)之解是否皆可解析(Analytic) | 已解决。1904年由伯恩斯坦(SergeBernstein)解决。 |
20 | 所有有界限条件的变量问题(Variationalproblem)是否都有解 | 已解决 |
21 | 证明有线性微分方程有给定的单值群(monodromygroup) | 已解决 |
22 | 以自守函数(Automorphicfunctions)一致化可解析关系 | 已解决。 1904年由科比和庞加莱取得解决。 |
23 | 变分法的长远发展 | 已解决 |