中考模拟数学试题汇编：二次函数

2010-2011中考模拟数学试题汇编：二次函数

 

一、选择题

1．(2010年山东宁阳一模)在平面直角坐标系中，先将抛 物线 关于x轴作轴对称变换，再将所得抛物线关于y轴作轴对称变换，经过两次变换后所得的新抛物线解析式为（  ）

A．   B．   C．   D．

答案：C

2．(2010年江西省统一考试样卷)若抛物线y=2x²向左平移1个单位，则所得抛物线是（    ）

A．y=2x²＋1     B．y=2x²－1     C．y=2（x＋1）²    D．y=2（x－1）²

答案：C

3. （2010年河南中考模拟题1）某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高 与水平的距离 ，则该运动员的成绩是(    )

A. 6m    B. 10m    C. 8m    D. 12m

 答案：D                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            4．（2010年河南中考模拟题4）二次函数 （ ）的图象如图所示，则正确的是(    )

A．a＜0      B．b＜0   C．c＞0    D．以答案上都不正确

答案：A 

5.（2010年河南中考模拟题3）已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，则下列条件正确的是（     ）

A．ac＜0       B.b² －4ac＜0   

C. b＞0        D. a＞0、b＜0、c＞0

答案：D 

6．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)抛物线y＝ax²＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表所示．

x	…	－3	－2	－1	0	1	…
y	…	－6	0	4	6	6	…

 

 

给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)； ②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；

③抛物线一定经过点(3，0)；  ④在对称轴左侧，y随x增大而减小．

从表中可知，下列说法正确的个数有(       )

A．1个        B．2个          C．3个          D．4个

7.（2010天水模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0②a>0③b²-4ac>0④ 中，正确的结论有（      ）

A.1个    B.2个     C.3个     D.4个

答案：C

8.(2010年厦门湖里模拟)抛物线 = 与坐标轴交点为 （    ）       

A．二个交点       B．一个交点           C．无交点          D．三个交点

答案：B

–1

3

3

第9题

1

9．(2010年厦门湖里模拟)如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且经过点 （3，0），则        的值为       

A. 0          B. －1        C.  1          D.  2

答案：A

10．（2010年杭州月考）已知二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：

①    ②当 时，函数有最大值。③当 时，函数y的值都等于0. ④ 其中正确结论的个数是（    ）

A.1          B.2       C.3          D.4

第11题

x

y

O

1

答案：C

11．（2010年厦门湖里模拟)如图，二次函数 的图像与 轴有一个交点在０和１之间（不含０和１），则 的取值范围是（     ）

Ａ． 　     Ｂ．       

Ｃ．          Ｄ．

答案：C

12．（2010年西湖区月考）关于二次函数y =ax²+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0时且函数的图象开口向下时，ax²+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是 ；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称.其中正确的个数是（    ）

A.1个           B、2个       C、3个        D. 4个

答案：C

13.（2010山东新泰）二次函数y＝x²的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（  ）

A．y＝x²－2　　　 B．y＝(x－2)²      C．y＝x²＋2　　　D．y＝(x＋2)²

答案：A

14.（2010年广州市中考六模）若二次函数y＝2 x²－2 mx＋2 m²－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（    ）

A.0    B.±1     C.±2      D.±

答案：A

15.(2010三亚市月考).抛物线y= x² 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（   ）

A. y= (x+8)²-9  B. y= (x-8)²+9   C. y= (x-8)²-9  D. y= (x+8)²+9

答案A

16.(2010三亚市月考). 下列关于二次函数的说法错误的是（    ）

A.抛物线y=-2x²＋3x＋1的对称轴是直线x= ；

B.点A(3,0)不在抛物线y=x² -2x-3的图象上；

C.二次函数y=(x＋2）²－2的顶点坐标是（-2，-2）；

D.函数y=2x²＋4x-3的图象的最低点在（-1，-5）

答案B

17.（2010教育联合体）二次函数y＝x²的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（      ）

A．y＝x²－2　　　 B．y＝(x－2)²      C．y＝x²＋2　　　D．y＝(x＋2)²

答案：A

18.（2010年湖里区二次适应性考试）二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（     ）

A．点C的坐标是（0，1）         B．线段AB的长为2      

C．△ABC是等腰直角三角形       D．当x>0时，y随x增大而增大

答案：D

二、填空题

1.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题) 二次函数 的图像如图所示，点 位于坐标原点， ， ， ，…， 在y轴的正半轴上， ， ， ，…， 在二次函数 第一象限的图像上，若△ ,△ ，△ ，…，△ 都为等边三角形，计算出△ 的边长为         .

答：2009

 

 

 

 

 

 

3．(2010年山东宁阳一模)根据 的图象，思考下面五个结论① ；② ；③ ；④ ；⑤ 正确的结论有________．

答案：①②③⑤ 

4．( 2010年山东菏泽全真模拟1)请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为-1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式      .

答案：y=x²+3x-1等

5.（2010年河南中考模拟题3）将抛物线y=﹣3x²向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是                。

答案：y=－3x²+1   

6．（2010年吉林中考模拟题）如图，平行于y轴的直线l被抛物线y＝ 、y＝

所截．当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为

            平方单位．

 

 

答案：6

7．(2010年江苏省泰州市济川实验初中模拟)已知二次函数 ， 当x_____时，y随x的增大而增大.

答案：＜2

8．（2010福建模拟）抛物线 的对称轴是直线         ．

答案：

9. （2010年杭州月考）将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是               。

答案：  

10．（2010年杭州月考）若一边长为40㎝的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为          ㎝．(铁丝粗细忽略不计)

答案：  

11.（2010 河南模拟）已知二次函数 （ 为常数）图像上的三点：A ，B ，C ，其中， = ， ，则 的大小关系是        。 

答案：y₁＞y₂＞y

12．（江西南昌一模）二次函数 的最小值是         

答案：-3

13.（10年广州市中考七模）、抛物线 +3与坐标轴的交点共有           个。

答案：3

14.(2010三亚市月考)Y=-2(x-1)² ＋5 的图象开口向     ，顶点坐标为         ，当x＞1时，y值随着x值的增大而       。

答案：下 ，（1，5），减小 ；

15．（2010重庆市綦江中学模拟1）抛物线y=（x—1）²+3的顶点坐标为   ．

答案 (1，3) ；

16.（2010年 湖里区 二次适应性考试）抛物线 的顶点坐标是        .

答案：(－1，5)　

三、解答题

1.(2010年山东宁阳一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数 ，且 时， ； 时， ．

（1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？

（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围．

答案：（1）将      代入 中

              ∴

∴W =          

W =            

W =

又∵60≤x≤60×（1+45%）     即60≤x≤87           则x=87时获利最多

将x=87代入，得W=－（87-90）²+900=891元

（2）

 

   

（舍去）

则 ，但       ∴

答：（1）x为87元有最大利润为891元；（2）范围为

2.（2010年河南中考模拟题1）如图，已知，抛物线

的顶点P在x轴上，与y轴交于点Q，过坐标原点O作 ，垂足为A，且

    (1)求b的值；

    (2)求抛物线的解析式。

答案：(1)               

    (2)    

  3.（2010年河南中考模拟题3）如图，在 中，∠ °， , 的面积为 ，点 为 边上的任意一点( 不与 、 重合)，过点 作 ∥ ，交 于点 ．设 以 为折线将△ 翻折，所得的 与梯形 重叠部分的面积记为y.

（1）．用x表示?ADE的面积;

（2）．求出 ﹤ ≤ 时y与x的函数关系式；

（3）．求出 ﹤ ﹤ 时y与x的函数关系式；

（4）．当 取何值时， 的值最大？最大值是多少？

 

 

 

 

 

 

答案：（1）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接OA、OD，则OA=OD= MN

在Rt⊿ABC中，BC= =5

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C

⊿AMN∽⊿ABC，∴ ， ，

∴MN= x, ∴OD= x

过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD= x，

在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中，∠B是公共角

∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA，

∴ ，∴BM= = x，AB=BM+MA= x +x=4,∴x=

∴当x= 时，⊙O与直线BC相切，

（3）随着点M的运动，当点P 落在BC上时，连接AP，则点O为AP的中点。

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC

∴⊿AMO∽⊿ABP，∴ = ，AM=BM=2

故以下分两种情况讨论：

①     当0＜x≤2时，y=S_⊿PMN= x².

∴当x=2时,y_最大= ×2²=

②     当2＜x＜4时，设PM、PN分别交BC于E、F

 ∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x

又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形

∴FN=BM=4－x，∴PF=x－（4－x）=2x－4，

又⊿PEF∽⊿ACB，∴（ ）²=

∴S_⊿PEF= （x－2）²,y= S_⊿PMN－ S_⊿PEF= x－ （x－2）²=－ x²+6x－6

当2＜x＜4时，y=－ x²+6x－6=－ （x－ ）²+2

∴当x= 时，满足2＜x＜4，y_最大=2。

综合上述，当x= 时，y值最大，y_最大=2。

4．（2010年河南中考模拟题4）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

答案：（１）（４，０）　（０，３）  

 (２)当0＜t≤4时，OM=t．

由△OMN∽△OAC，得 ，

∴ ON= ，S= ×OM×ON= ． （6分）

当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4．

由△DAM∽△AOC，可得AM= ．（7分）

而△OND的高是3．

S=△OND的面积-△OMD的面积

= ×t×3- ×t× 　　　　　

= ． （ 10分）　　　　

(3) 有最大值．

方法一：

当0＜t≤4时，

∵ 抛物线S= 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，

∴ 当t=4时，S可取到最大值 =6； （11分）

当4＜t＜8时，

∵ 抛物线S= 的开口向下，它的顶点是（4，6），

∴ S＜6．

综上，当t=4时，S有最大值6．

方法二：

∵ S=  

∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示．

显然，当t=4时，S有最大值6．

5.（2010年河南中考模拟题5）二次函数 的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．

  (1)试求 ， 所满足的关系式；

  (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积

的 倍时，求a的值；

  (3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

                                                                                                            

 

 

答案：解 ：(1)将A（1，0），B（0，l）代入 得

      ，可得：

（2）由(1)可知：  ，顶点M的纵坐标为 ，

      因为 ，由同底可知： ，

 整理得： ，得：

由图象可知： ，因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x= ,

∴ ,    ∴ 舍去,从而

（3）① 由图可知，A为直角顶点不可能；    

② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；

③ 若设B为直角顶点，则可知 ，得：

令 ，可得： ，

得：

．

　　   解得： ，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在．

综上所述： 不存在.

6.（2010年河南中考模拟题6）如图，在平面 直角坐标系x0y中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线 与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切与点A和点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。

答案：（1） ，

   （2） ，

   （3）点P在抛物线上，

        设y_DC=kx+b,将（0，1），（1，0），带入得k=-1,b=1，

∴直线CD为y=-x+1，

∵过点B作⊙O的切线BP与x轴平行，

∴P点的纵坐标为-1，

把y=-1带入y=-x+1得x=2，

∴P（2，-1），

将x=2带入 ，得 y=-1，

∴点P在抛物线 上。

7.（2010年吉林中考模拟题）如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线 经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．

 （1）求抛物线对应的函数关系式．

 （2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．

 （3）当0＜ ≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．

【参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ， ．】

答案：（1）由抛物线经过点A(0，1)，C(2，4)，

得 解得

∴抛物线对应的函数关系式为： ．

（2）当 时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)．             

    当 时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)．

（3）当 ≤2时， ．

S ．                                

    当 ≤5时， ．

S ．

    当 时，S的最大值为2．

8．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)已知抛物线 的部分图象如图所示.

(1)求b、c的值；   

(2)求y的最大值；

(3)写出当 时，x的取值范围.

 

答案：(1)b=－2,c=3   

(2) 4   

(3) x＜－3或x＞1     

9．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题) 如图1，把一个边长为2 的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c₁交x轴于点M、N(M在N的左边).

(1)求抛物线c₁的解析式及点M、N的坐标；

  (2)如图2，另一个边长为2 的正方形 的中心G在点M上， 、 在x轴的负半轴上( 在 的左边)，点 在第三象限，当点G沿着抛物线c₁从点M移到点N，正方形随之移动，移动中 始终与x轴平行.

①直接写出点 、 移动路线形成的抛物线 、 的函数关系式；

②如图3，当正方形 第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，

求点G的坐标．

 

 

 

 

 

 

答案：(1)y=－ x²+4,   M( ,0),N( ,0) 

（2）①y_A'=－ x²+2 , y_B'=－ (x－2)²+4　    ②G(1－ ，－3＋ )   

10．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题) 某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y_Ａ(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：

x(万元)	1	2	2.5	3	5
yＡ(万元)	0.4	0.8	1	1.2	2

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y_Ｂ(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y_Ｂ＝ax²+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．

(1)求出y_Ｂ与x的函数关系式．

(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y_Ａ与x之间的关系，并求出y_Ａ与x的函数关系式．

(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

答案：(1)y_B=－0.2x²+1.6x,

  （2）一次函数,y_A=0.4x,

  （3）设投资B产品x万元，投资A产品（15－x）万元，投资两种产品共获利W万元， 则W=（－0.2x²+1.6x）+0.4（15－x）=－0.2x²+1.2x+6=－0.2(x－3)²+7.8,  

∴当x=3时,W_最大值=7.8,

答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润5.8 万元.

11．（2010年铁岭市加速度辅导学校）已知：抛物线 经过点 ．

（1）求 的值；

y

x

O

B

P

A

（2）若 ，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若 ，过点 作直线 轴，交 轴于点 ，交抛物线于另一点 ，且 ，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）

解：（1）依题意得： ，

．

（2）当 时， ，

抛物线的顶点坐标是 ．

（3）当 时，抛物线对称轴 ，

对称轴在点 的左侧．

因为抛物线是轴对称图形， 且 ．

．

．

又 ， ．

抛物线所对应的二次函数关系式 ．

解法2：（3）当 时， ，

对称轴在点 的左侧．因为抛物线是轴对称图形，

，且

．

又 ，解得：

这条抛物线对应的二次函数关系式是 ．

解法3：（3） ， ，

分

轴，

即： ．

解得： ，即

由 ， ．

这条抛物线对应的二次函数关系式

12.（2010天水模拟）已知:抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B，两点（A点在B点的左侧），顶点为这。

（1）求A、B、P三点坐标；

（2）在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

（3）确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由。

解：（1）-x²+4x-3=0    x²-4x+3=0    (x-1)(x-3)=0    x₁=1,x₂=3

H= = =2   k= =

∴A(1,0) B(3,0)    P(2,1)

(2)略

（3）

将①代入②中  -x²+4x-3=-2x+6

-x²+6x-9=0

△=36-4×(-1)×（-9）

=36-36=0

∴只有一个

13.（2010天水模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴。

第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0；.其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）

第（2）问：给出四个结论：①abc<0②2a+b>0③a+c=1④a>1.其中正确结论的序号（答对得5分，少选、错选均不得分）

答案：a>0;  b<0;  C<0    abc>0;

2a+b>0  2a>-b   1>

  ①+②得   2a+2c=2   a+c=1   a=1-c

14.（2010福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点A，与y轴交于点C. 抛物线 经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交 轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.

解：(1) 当y＝0时，     ∴A(－1, 0)

当x＝0时，       ∴  C(0,－3)        

∴               ∴

抛物线的解析式是：                          

   当y＝0时， 解得： x₁＝－1  x₂＝3  ∴ B(3, 0)  

（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3)  直线BC的解析式是：   

     设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x²-2x-3）

    ∴ME=(x-3)-( x²-2x-3)=- x²+3x =           

      ∴当 时，ME的最大值＝                     

（3）答：不存在.                                     

由（2）知 ME 取最大值时ME＝  ，E ，M

 ∴MF＝ ，BF=OB-OF= . 

设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，

则BP∥MF，BF∥PM. ∴P₁ 或 P₂          

当P₁ 时，由（1）知                        

∴P₁不在抛物线上.                                     

当P₂ 时，由（1）知                       

∴P₁不在抛物线上.                                       

综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.

8．(2010年厦门湖里模拟)一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x²＋bx＋c的图象经过点A，B．

（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；

（2）求二次函数的解析式及它的最小值．

答案：解：（1）令 ，得 ， 点 的坐标是

令 ，得 ， 点 的坐标是

1

2

1

2

3

4

A

B

图象如右所示。

（2） 二次函数 的图象经过点 ，

，解得： ．       

二次函数 的解析式是 ，

  ，

函数 的最小值为 ．

9.（2010 河南模拟）如图，曲线C是函数 在第一现象内的图像，抛物线是函数 的图像，点 （n=1,2…）在曲线上，且x,y都是整数。

（1）求出所有的点 ；

（2）在 P_n中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；

（3）从（2）中所有的直线中任取一直线，求所有直线与抛物线有公共的的概率。

答案：（1）∵x,y都是整数且 ，

       ∴x=1，2，3，6，

∴P₁（1，6），（2，3），（3，2），（6，1）；

（2）以P₁ ,P_2，，P_3，P₄中任取两点的直线有 共六条；

（3）∵只有直线 与抛物线有公共点，

    ∴P= 。

 

10.（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝ ．  

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

_

y

_

x

_

O

_

E

_

D

_

C

_

B

_

A

图10

_

G

_

A

_

B

_

C

_

D

_

O

_

x

_

y

图11

 

 

 

 

 

 

 

 

答案：（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）   

将A、B、C三点的坐标代入得            

解得：                                    

所以这个二次函数的表达式为：          

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）         

设该表达式为：                      

将C点的坐标代入得：                             

所以这个二次函数的表达式为：           

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）             

理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                             

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3）                       

方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：

∴E点的坐标为（－3，0）                            

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）  

代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）                         

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），

代入抛物线的表达式，解得

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），

则N（r+1，－r），

代入抛物线的表达式，解得  

∴圆的半径为 或 ． 

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为 ．

设P（x， ），则Q（x，－x－1），PQ ．

          

当 时，△APG的面积最大

此时P点的坐标为 ， ．  

11．（济宁师专附中一模）

已知抛物线  经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点．

⑴求这条抛物线的表达式；

⑵用配方法求这条抛物线的对称轴和顶点坐标．

答案：解：由已知，得 解得a=1，b= -2，c=-3．

所以y=x²-2x-3．

(2)对称轴x=1，顶点(1，-4) 配方略．

12．（江西南昌一模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD纸片如图放置，A（0，2），D(-1,0)，抛物线 经过点C．

（1）求点B、C的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）以直线AD为对称轴，将正方形ABCD纸片折叠，得到正方形ADEF，求出点E和点F坐标，并判断点E和点F是否在抛物线上，并说明理由．

答案：提示：（1）过B作 轴于T，过C作 轴于P,可证得 .

则

∴

∴B(-2,3).同理,

(2)抛物线 经过点C(-3,1)，则得到

，解得 ，

所以抛物线解析式为 ；

(1) 

P

T

作 轴于Q,作 轴于P.

通过 ,得

∴ ∴E(2,1).同理F(1,-1).

当 时,  ∴F(1,-1)在抛物线上.

当 时,  ∴E(2,1)在抛物线上.

13.（2010山东新泰）如图，直线 与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线 经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点.

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，且 ，若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由.

答案：（1） ，顶点（1，4）；

（2）Q（1，2）；

（3）设P( ).①当 ＜0时，P（ ）;②当0≤ ≤3时，P（ ）;

③当 ＞3时，P点不存在. 由①②③得点P的坐标为（ ）或（ ）

14.（2010浙江杭州）二次函数 的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．

  (1)试求 ， 所满足的关系式；

(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△ AMC的面积为△ABC面积的 倍时，

  求a的值；

 (3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

                                                                                                            

解：(1)将A（1，0），B（0，l）代入 得：                                         

      ，可得：

（2）由(1)可知：  ， 顶点M的纵坐标为 ，

      因为 ，由同底可知： ，

 整理得： ，得：

由图象可知： ，因为抛物线过点（0,1），顶点M在第二象限，其对称轴x= ,

∴ ,    ∴ 舍去,从而

（3）① 由图可知，A为直角顶点不可能；

     ② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；

③ 若设B为直角顶点，则可知 ，得：

令 ，可得： ，

得：

．

　　   解得： ，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在．

综上所述：不存在.

15.（2010北京市朝阳区模拟）定义 为一次函数 的特征数．

（1）若特征数是 的一次函数为正比例函数，求 的值；

（2）设点 分别为抛物线 与 轴、 轴的交点，其中 ，且 的面积为4， 为坐标原点，求图象过 、 两点的一次函数的特征数．

答案：解：（1） 特征数为 的一次函数为 ，

，

．

（2） 抛物线与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ．

若 ，则 ，∴ （舍）；

若 ，则 ，∴ ．

综上， ．

抛物线为 ，它与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ， 所求一次函数为 或 ，

特征数为 或