【串和序列处理 7】LIS 最长递增子序列

LIS：给定一个字符串序列S={x0,x1,x2,...,x(n-1)}，找出其中的最长子序列，而且这个序列必须递增存在。

下面给出解决这个问题的几种方法：

(1) 转化为LCS问题

思想：将原序列S递增排序成序列T，然后利用动态规划算法取得S与T的公共最长子序列。具体算法详见《LCS最长公共子序列》。

效率：这个方法排序最好的是时间复杂度是O(n*logn)，动态规划解决LCS的时间复杂度是O(n^2)。因此总体时间复杂度是O(n*logn)+O(n^2)=O(n^2)级别。

(2) 分治策略

思想：假设f(i)表示S中 x0 ... xi 子串的最长递增子序列的长度。则有如下递归：找到所有在xi之前，且值小于xi 的元素xj，即j<i 且 xj<xi。如果这样的元素存在，那么所有的xj 都有一个x0 ... xj 子串的最长递增子序列，其长度为f(j)。把其中最大的f(j)选出来，则

f(i)=Max(f(j))+1. 其中{j | j<i 且xj<xi}

如果这样的j不存在，则xi自身构成一个长度为1的递增子序列。

该算法Java源代码如下：

package net.hr.algorithm.string;
/**
* 最长递增子序列 LIS
* @author heartraid
*/
public class LIS {

char[] chars=null;

public LIS(String str){
chars=str.toCharArray();
}

public void getLIS(){

int[] f=new int[chars.length]; //用于存放f(i)值
String[] sequence=new String[chars.length];
f[0]=1; //以第x1为末元素的最长递增子序列长度为1

for(int i=1;i<chars.length;i++)//循环n-1次
{
sequence[i]=""+chars[i];
f[i]=1;//f[i]的最小值为1；
String temp="";
for(int j=0;j<i;j++)//循环i 次
{

if(chars[j]<chars[i]&&f[j]>f[i]-1){
temp=temp+chars[j];
f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。
}

}
sequence[i]=temp+sequence[i];
}
//打印结果
int maxLength=0;
int maxSize=0;
for(int k=0;k<chars.length;k++){
if(maxLength<f[k]){
maxLength=f[k];
maxSize=k;
}
}
System.out.println("最大递增子序列为："+sequence[maxSize]+"(length="+maxLength+")");
}

public static void main(String[] args) {
LIS lis=new LIS("ijabcsrewesdsdewg");
lis.getLIS();

}

}

效率：算法时间复杂度为O(n^2)级别。

(3) 动态规划算法

实际上这是一道很典型的动态规划问题。我们假设a[0]....a[i-1] 有一个最长递增子序列，其长度f(i-1)<=i, 且该最长递增子序列的最后一个元素为b。

那么对于a[0].... a[i] 而言，如果b<a[i]，那么f(i)=f(i-1)+1，且最长递增子序列的最后一个元素变成了a[i]。如果b>=a[i]，那么f(i)=f(i-1)。

上面的过程有一个难点：如果a[0]....a[i-1] 有多个最大长度为f(i-1)的递增子序列怎么办？需不需要所有长度等于f(i-1)的递增子序列的最后一个元素b0...bi全部存储起来，再一一和a[i]比较大小呢？如果是这样，那么整个算法与上面的分治策略将没有什么不同了？

事实上，并不需要怎么做。我们举个例子： a[]={1、2、5、3、7}

a[0] ... a[3] 的最大递增子序列有两个{1,2,5}和{1,2,3}，当增加a[4]的时候，如果a[4]>5，则两个子序列都需要增加a[4]；如果a[4]>3，则{1,2,3}+a[4]将必定成为新的最大子序列，而{1,2,5}不确定。因此我们看出，只要保存所有最大序列的最小的末尾元素即可。

因此我们设计一个如下的算法：其中b[k]用来表示最大子序列长度为k时的最小末尾元素。

int LIS(){
b[1]=a[0];
for(int i=1;k=1;i<n;i++){
if(a[i]>=b[k]) b[++k]=a[i];
else b[binary(i,k)]=a[i];
}
return k;
}

int binary(int i, int k){
if(a[i]<b[1]) return 1;
for(int h=1,j=k;h!=j-1;){
if(b[k=(h+j)/2]<=a[i]) h=k;
else j=k;
}
return j;
}

该算法的时间复杂为O(N*logN)。