中考压轴题的常见思想方法

中考压轴题的常见思想方法

 

2.1分类讨论思想

代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题。

例1．（2009年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

                                      

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）由△ADE∽△BCD，及已知条件求得E、D、C坐标，进而求出过点E、D、C的抛物线的解析式：

                    

（2）EF=2GO成立．

点M在该抛物线上，且它的横坐标为，

∴点M的纵坐标为．设DM的解析式为

将点D、M的坐标分别代入，得

   解得  ∴DM的解析式为    ∴F（0，3）  EF=2

过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．

△DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1      ∴EF=2GO

（3）点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）．

∴PG=（t－1）+2，PC=（3－t）+2，GC=2

                

①若PG=PC，则（t－1）+2=（3－t）+2

解得t=2．∴P（2，2），此时点Q与点P重合．Q（2，2）

②若PG=GC，则（t－1）+2=2，解得t=1，P（1，2） 

此时GP⊥x轴．

GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，

∴点Q的纵坐标为．Q（1，）

③若PC=GC，则（3－t）+2=2，解得t=3，∴P（3，2）

此时PC=GC=2，P与D重合

过点Q作QH⊥x轴于点H，

则QH=GH，设QH=h，∴Q（h+1，h） ．

解得（舍去）．∴Q（，）

综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）

思想方法解读：这道压轴题是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。

第⑴问结合“形”的特征，求出点D、E、C的坐标，再设二次函数一般式，用待定系数法可求得二次函数解析式。体现了解函数问题时常用到的“数形结合”思想。

第⑵由D、M所在直线与y轴相交哦于F，可求得F点坐标，并求出EF的长度，并由旋转过程中的角度相等关系，设法构造全等求出OG。得证结论。解决第⑵问的关系是将EF、OG转化为可求的已知量，得到其长度关系。体现出数学解题中的“转化思想”。

本题的第⑶问讨论存在性问题。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C为定点，P为不确定的点，因此应考虑GC为腰、GC为底，并考虑G、C、P分别为顶点等多种情况进行分类讨论。假设存在P点，结合P点的位置，通过设置P点坐标参数，用所设参数表示出相应三角形边长，由等腰三角形的性质，构造相应方程，可求出P点坐标。第⑶问不仅体现了分类讨论思想，还考察了用方程建模的能力。

 

2.2转化思想

代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离、反比例函数与一次函数交点距离问题（与一元二次方程根的系数关系转化）。

例2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA<OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）。

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。（4分）

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。（3分）

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）

解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO²=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4

∴A(-1,0)  B(4,0)  C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4)，

将点C(0,2)代入，可求a=    ∴为所求

⑵； 

提示：①ED=EB时，过E作BD垂线，可得

②直线BC的解析式为，设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组   分别可求和。

⑶方法1：连OP。如图4。

                                            

P（m，n）在抛物线上

∴P（m， ）

     S_△CPO=S_{四边形ODPC}－S_△OCD

=S_△POC+ S_△PDO－S_△OCD=OC·|x_p|+OD·|y_p|—OC·OD

  =×2m+×2（）－×2×2

  =－m+m=－（m－）+

当m=时，S_△CPO面积最大，此时P（，）

方法2：过D作X轴的垂线，交PC于M，如图5。

                                                            

易求PC的解析式为，且，故

 

∴当时，，

思想方法解读：本题是一道二次函数与平面几何综合的压轴题

第⑴问由三角形形似（或射影定理）求出相关线段的长，写出相应点的坐标。然后灵活设置二次函数式，用待定系数法求出二次函数式。

第⑵问，虽然题目要求是直接写出点E的坐标。但点E的坐标必须通过计算得到。而在计算的过程中，要考虑符合要求的等腰三角形的多样性，需分类讨论顶点、腰的对应情况。

第⑶问是本题的难点。题中的面积表示，要结合P（m，n）在抛物线上，充分利用点的坐标的几何意义，或是利用平面几何的性质，有效表示△BCD的面积，将不能直接表示的三角形面积转化为能用已知线段和P点坐标表示的面积。方法1是将四边形分割成两个三角形△POC、△POD，方法2，是通过过D点作垂线，直接将△BDC转化为△PDM、△CDM。

 

2．3极端值思想

代表性题型：动态几何问题，动态函数问题。

例3．已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．

（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；

（2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；

     

（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小。

解析：（1）AD=2，且Q点与B点重合。由=1，∴PB（Q）=PC，△PQC为等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=3×=。

（2）如图：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，则AQ=2－x。

                                                    

由△BPF∽△BDP，==，又BF=PE

∴=，∴PF=PE

  S△APQ=（2－x）PF，S△PBC=×3PE

  ∴y=（2－x）

  P点与D点重合时，此时CQ取最大值。过D作DH⊥BC。

  CD=，此时=，=，PQ=，BQ=AB－AQ=

 ∴函数的定义域：0≤x≤

 (3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′垂直于PC，与AB交于Q′点，则：B，Q′，P，C四点共圆。

由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：PQ′/PC=AD/AB,

又由于PQ/PC=AD/AB  所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90°

方法2：如图3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由==，即==

∴△PNQ∽△PMC   ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90°

思想方法解读：这是一道动态几何的变式综合题。

第⑴问，线段的比值不变，Q在特殊点（与B点重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，△PQC为等腰直角三角形。利用几何性质可求出PC。

第⑵问中利用三角形相似比，结合已知条件中的固定线段比，找出△PAQ、△PBC高之间的比例关系，是求函数式的关键。而第二问中写出函数的定义域则是难点。需分析出P点运动的极端情况，当P与D重合时，BQ取得最大值。集合图形的几何性质及已知条件中的固定线段比，求出此时BQ的长度，既为BQ的最大值。体现极端值思想。

⑶中可以用四点共圆通过归一法求证，也可以通过构造相似形求证。

 

2．4数形结合思想（用好几何性质）

代表性题型：函数与几何综合题。

例4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COS∠BCO＝。

                                                  

     ⑴求次抛物线的函数表达式。

    (2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

解析：⑴由直线y=kx－3与y轴交点坐标为C（0，－3）

抛物线y=a（x+1）+c（a＞0）开口向上，过C（0，－3）

∴A、B在y轴两侧，B在y轴右侧。如图。

                                                             

Rt△AOC中，OC=3，cos∠BCO=  ∴BC=，OB=1

∴B（1，0） 又B（1，0），C（0，－3）在y=a（x+1）+c上

∴抛物线解析式y=x+2x－3

⑵由⑴抛物线顶点M（－1，－4），直线y=kx－3过M，∴直线解析式y=x－3

∴N（3，0）   ∴△NOC为等腰直角三角形

假设抛物线上存在点P使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。

①PC为另一条直角边。PC⊥CN，而A与N关于y轴对称在抛物线上。

∴存在P₁（－3，0）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形

②PN为另一条直角边。PN⊥CN，则∠PNO=45°设PN交y轴于点D，则D（0，3）

PN所在直线y=－x+3

由    解得    

∴存在P₂（，），P₃（，）使△NPC为以NC为一条直角边的直角三角形。

满足条件的点有P₁（－3，0），P₂（，），P₃（，）

⑶①若抛物线沿对称轴向上平移。设向上平移b个单位（b＞0）。

此时抛物线的解析式为：y=x+2x－3+b

抛物线与线段NQ总有交点，即由抛物线解析式、直线MC所在直线解析式组成的方程组有解。由    消除y得x+x+b=0，

Δ=1－4b≥0，   ∴0＜b≤     ∴向上最多可平移个单位

②若向下平移b个单位（b＞0），设y=x+2x－3－b

由y=－x+3，可求得Q（－3，－6），N（3，0）

对于抛物线y=x+2x－3－b

当x＝－3，y=－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则需－b≥-6，b≤6

当x=3时，y=12－b，抛物线与直线y=－x+3有交点，则12-b≥0，b≤12。

∴向下最多可平移12个单位。

思想方法解读：本题还是一道二次函数与平面几何综合的压轴题。

第⑴问中，由直线解析式求出C点坐标，由C点坐标结合a＞0，判定抛物线与x轴交点的大致位置。并结合cos∠BCO=，求出B点坐标，在根据待定系数法求出抛物线的解析式。

第⑵问，以NC为直角边的直角三角形，应分C、N分别为直角顶点分类讨论。结合相应点的坐标及垂直条件，利用45°角的几何性质，分析得到A点满足条件，并求出PN⊥NC时，PN所在直线的解析式，是解题的关键。

第⑶问是本题的难点。分抛物线向上、向下平移两种讨论。向上平移时，需抛物线与直线NQ有交点，由判别式可确定平移b的范围；向下平移时，线段NQ是否与抛物线相交，关键是两个端点N、Q是否在抛物线外侧。只要取两个端点刚好在抛物线上的特殊情况，进行分别判断，求出满足条件的b的范围即可，体现出用极端值解题的思想。

由以上的试题可看出，在中考压轴题中所体现出的数学思想方法并不是单一的，一般每道中考压轴题均综合体现了两到三种不同的数学思想方法。我们在求解压轴题时，一定要结合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用。