高考数学模拟试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
参考公式：
三角函数和差化积公式
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑.
题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) 答
案 A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D A
B
C
D （1）若圆台的高为4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是（）.
（A）252π（B）84π（C）72π（D）63π
（2）若曲线x2+y2+a2x+(1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（）.
（A）（B）（C）（D）
（3）设，.tgα，tgβ是方程的两个不等实
根.则α+β的值为（）.
（A）（B）（C）（D）
（4）等边ΔABC的顶点A、B、C按顺时针方向排列，若在复平面内，A、B两点分别对应
的复数为和1，则点C对应的复数为（）.
（A）（B）（C）（D）–3
（5）对于每一个实数x，f(x)是y=2–x2和y=x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是（）.
（A）1（B）2（C）0（D）–2
（6）已知集合A={(x,y)|y=sin(arccosx)}.B={(x,y)|x=sin(arccosy)}，则A∩B=（）.
（A）{（x，y|x2+y2=1，x>0，y>0（B）{（x,y|x2+y2=1，x0}
（C）{（x，y|x2+y2=1，y0}（D）{（x,y|x2+y2=1，xy≥0}
（7）抛物线y2=2px与y2=2q（x+h）有共同的焦点，则p、q、h之间的关系是（）.
（A）2h=q–p（B）p=q+2h（C）q>p>h（D）p>q>h
（8）已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结
论正确的是（）.
（A）a100=–a，S100=2b–a（B）a100=–b，S100=2b–a
（C）a100=–b，S100=b–a（D）a100=–a，S100=b–a
（9）已知ΔABC的三内角A，B，C依次成等差数列，则sin2A+sin2C的取值范围是（）.
（A）（B）（C）（D）
（10）如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，
Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两
部分，则其体积之比为（）.
（A）3:1（B）2:1（C）4:1（D）:1
（11）中心在原点，焦点坐标为（0，）的椭圆被直线3x–y–2=0截得的弦的中点的
横坐标为，（B）
（C）（D）
（12）已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式
f(log4x)>0的解集为（）.
（A）{x|x>2}（B）{x|0
（C）{x|02}（D）{x|2}
（13）如图，将边长为5+的正方形，剪去阴影部分后，
得到圆锥的侧面和底面的展
开图，则圆锥的体积是（）.
（A）（B）
（C）（D）
（14）一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长为400
千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批物质全部运到B
市，最快需要（）
（A）6小时（B）8小时（C）10小时（D）12小时
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.
（15）函数的最小正周期是__________.
（16）参数方程（θ是参数）所表示的曲线的焦点坐标是__________.
（17）（1+x）6（1–x）4展开式中x3的系数是__________.
（18）已知m，n是直线，α.β.γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；
②若n⊥α,n⊥β,则α∥β；
nα，mα且n∥β,m∥β，则α∥β
⑤若m，n为异面直线，且nα，n∥β，mβ，m∥α，则α∥β
则其中正确的命题是_________.（把你认为正确的命题序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（19）（本小题满分12分）
在ΔABC中，求的最小值.并指出取最小值时ΔABC的形状，并说明理由.
（20）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=，PD=.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PD与底面ABCD成60°的角，
试求二面角P—BC—A的大小.
（21）（本小题满分12分）
已知F(x)=f(x)–g(x)，其中f(x)=loga(x–1)，并且当且仅当点（x0，y0）在f(x)的图像上时，点（2x0，2y0）在y=g(x)的图像上.
（Ⅰ）求y=g(x)的函数解析式；
（Ⅱ）当x在什么范围时，F(x)≥0？
（22）（本小题满分12分）
某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从A地运到B地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：
运输工具途中速度途中费用装卸时间装卸费用
（千米/小时）（元/千米）（小时）（元）
汽车50821000
火车100442000
飞机2001621000
若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中的损耗为300元/小时，问采用哪种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.
（23）（本小题满分13分）
已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线C在x轴上截得的线段的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.
（24）（本小题满分13分）
已知a>0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（n∈N）
（Ⅰ）求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅱ）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.
高三数学试题（理科）评分参考标准
2000．6
一、选择题
（1）B；（2）B；（3）C；（4）D；（5）A；（6）D；（7）A；（8）A；
（9）D；（10）B；（11）C；（12）C；（13）A；（14）B.
二、填空题
（15）π；（16）；（17）–8；（18）②，⑤.
三、解答题
（19）解：令
……………………………………1分
………………………3分
∵在ΔABC中，，∴…………………4分
又.
∴…………………………………………6分
…………………………………………………………8分
，
当时，y取得最小值.…………………………………9分
由知A=C，………………………………………………………10分
由知，B=60°.……………………………………………11分
故A=B=C=60°，
即y取最小值时，ΔABC的形状为等边三角形.…………………………12分
（20）（1）证：由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
故BD2=AD2+AB2–2AD?ABcos60°
=4+16–2×2×4×=12.……
…………………………………1分
又AB2=AD2+BD2，
∴ΔABD是直角三解形，∠ADB=90°，
即AD⊥BD.……………………………3分
在ΔPDB中，PD=，PB=，BD=，
∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD.……………………………………………5分
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD.…………………………………………6分
（2）由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.
∴平面PAD⊥平面ABCD.……………………………………………………7分
作PE⊥AD于E，又PE平面PAD.∴PE⊥平面ABCD.
∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDE=60°………………8分
∴PE=PDsin60°=.
作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC.
∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.……………………………………10分
又EF=BD=，在ΔRtΔPEF中，
.
故二面角P—BC—A的大小为.…………………………………12分
（21）解：（1）由点（x0，y0）在y=loga（x–1）的图像上，y0=loga（x0–1），…………1分
令2x0=u，2y0=v，则，
∴，即.…………………………3分
由（2x0，2y0）在y=g（x）的图像上，即（u，v）在y=g（x）的图像上.
∴.……………………………………………4分
（2）.
由F(x)≥0，即①…………………5分
当a>1时，不等式①等价于不等式组
x–1>0
……………………………………………………………6分
x2–8x+8≤0
x>2x>2
.………………………………………………………8分
当0
x>1
………………………………………………………………………9分
x2–8x+8≥0x≤4–或x≥4+
x>2x>2
.…………………………………………………………11分
故当a>1，2
x≥时，F(x)≥0.……………………………………………………12分
（22）解：设A、B两地的距离为S千米，则采用三种运输工具运输（含装卸）过程中的费用
和时间可用下表给出：
运输工具途中及装卸费用途中时间
汽车8S+1000
火车4S+2000
飞机16S+1000
分别用F1，F2，F3表示用汽车、火车、飞机运输时的总支出，则有
F1=8S+1000+（）×300=14S+1600，…………………………………2分
F2=4S+2000+（）×300=7S+3200，…………………………………4分
F3=16S+1000+（）×300=17.5S+1600.……………………………6分
∵S>0，∴F1
而F1–F2<0的解为，………………………………………………8分
F2–F3<0的解为，…………………………………………………9分
则，（1）当（千米）时，F1
……………………………………………………………………………10分
（2）当（千米）时，F1=F2
……………………………………………………………………………11分
（3）当（千米）时，F1>F2，并满足F3>F2，此时采用火车较好；
……………………………………………………………………………12分
（23）解：设所求抛物线方程为(x–h)2=a(y–k)(a∈R，a≠0)①…………………………1分
由①的顶点到原点的距离为5，则②…………………………2分
在①中，令y=0，得x2–2hx+h2+ak=0.设方程二根为x1，x2，则
|x1–x2|=.……………………………………………………3分
将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为
（x–h）2=a（y–k–3），……………………………………………………4分
令y=0，得x2–2hx+h2+ak+3a=0.设方程二根为x3，x4，则
|x3–x4|=.…………………………………………………5分
依题意得=，
即4（ak+3a）=ak③…………………6分
将抛物线①向左平移1个单位，得（x–h+1）2=a（y–k），…………………7分
由过原点，得(1–h)2=–ak④…………………8分
由②③④解得a=1，h=3，k=–4或a=4，h=–3，k=–4…………………11分
所求抛物线方程为（x–3）2=y+4，
或（x+3）2=4（y+4）.………………………………………………13分
（24）解：（Ⅰ）由题意知an=an，bn=nanlga.………………………………………………2分
∴Sn=（1?a+2?a2+3?a3+……+n?an）lga.
aSn=（1?a2+2?a3+3?a4+……+n?an+1）lga.
以上两式相减得
（1–a）Sn=（a+a2+a3+……+an–n?an+1）lga……………………………4分
.
∵a≠1，∴.………………………6分
（Ⅱ）由bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga
=aklga[k(a–1)+a].………………………………………………7分
由题意知bk+1–bk>0，而ak>0，
∴lga[k(a–1)+a]>0.①……………………………………………8分
（1）若a>1，则lga>0，k(a–1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；
……………………………………………………………………10分
（2）若0
不等式①成立
恒成立
.……………………12分
综合（1）、（2）得a的取值范围为.………………13分
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正棱台、圆台的侧面积公式
其中c’、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式
其中s’、s分别表示上、下底面积，h表示高
x=3+2cosθ
y=cos2θ
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