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关于《算术基本定理》及其相关问题的讨论
卢照田（北京733信箱，北京，100018）
一、关于《算术基本定理》
《算术基本定理》是初等数论中整除理论的中心内容之一[1]，它的文字及数式表达形式为：每一个大于1的整数一定可以唯一地（不计次序的意义下）表为素数之积。
a=P1P2……Ps，
其中，a＞1，Pj（1≤j ≤s）为素数。
现在，根据定理的数式表述，我们将最简单的几个整数写出如下：2=2，3=3，4=2×2，5=5，6=2×3，7=7，8=2×2×2，10=2×5。仔细地观察不难发现，4，6，8，9，10，这几个整数，他们都是素数之积，其数式表达完全符合定理的文字表达。而对于作为素数的2，3，5，7这几个整数，好像就有了点儿问题。因为，“积”应当是数、数相乘之结果，所以，单一的一个数似乎不能称为积。而要想使它们真正符合积的定义，其数式表达的形式似应变为：2=1×2，3=1×3，5=1×5，7=1×7。
然而，这又立即引起了矛盾。因为数学家并不把整数1视为素数，所以这种数式表达就与语言表达的“素数之积”相违背。于是，这就很自然地引出了“自然数1到底可不可以被视为素数”的疑问。
二、自然数1能否被看作是素数
按照人们对于素数的基本设定：除1与自身之外，没有其他因子的大于1的整数[2]。1能被自身整除，也能被1整除，且再也没有其他的因子，为什么不能把1视为素数？数学家唯一的理由是：若把1看作是素数，则破坏了《算术基本定理》的唯一性[3]。例如整数9，数学家认为它被表为9=3×3的形式是唯一的。而如果一旦把1也认作是素数的话，就会出现诸如9=3×3×1、9=3×3×1×1、9=3×3×1×1×1、……，9=3×3×1n（n≥1的自然数）之多重结果，于是，其表达式就不是唯一的了。
其实，就是不把1看作是素数，一些整数的素数乘积表达式也不是唯一的，例如整数30，它可被写成30=2×3×5、30=3×2×5、30=5×2×3、30=5×3×2，素因子排列次序的不同也破坏了表达式的唯一性。而现在之所以说它是唯一的，是因为人们给了一个“不计次序的意义下”的宽松设定。类似地，在把1视为素数之后，为了仍然保证《算术基本定理》之唯一性，我们不妨再加一个限制条件，即“素数1在表整数为素数乘积的表达式中只能出现一次”。又因为，整数1也可表为素数之积：1=1×1，所以，《算术基本定理》的文字表达及数式表达就变成了如下形式：每一个≥1的整数都可唯一地（不计次序的意义下，且素数1在乘积表达式中只能出现一次）表为素数之积。
a=P1P2……Ps，
其中，a≥1，Pj（2≤j ≤s）为素数。
例如，1=1×1、2=1×2、3=1×3、4=1×2×2、5=1×5，6=1×2×3，等等。
综上所述，原来不把自然数1视为素数以及《算术基本定理》的唯一性条件，都是人们为了某种特别需要而实施的自我设定，并不是数学自身发展所产生的必然结果。数学也应与时俱进。新情况的出现，以及为了更加合理、更具广泛的适应性，现在重新认定整数1为素数，重新设定《算术基本定理》的唯一性条件，也是必要且可行的。
三、素数1引起的某些数学概念的变化
素数1的被确认，必然会引起某些数学概念的变化，而数学概念的变化又可导致数论中新的数学理念的产生。新的数学理念是发展新的数论工具的基础，而且，新的数论工具一旦发展并完善起来，又必然推动着数论向更深、更广的方向发展。或许实践将会证明，素数1的被确认，将会引起连锁反应，其对数论发展的贡献亦将被载入史册。
1．《算术基本定理》文字表述和数式表达的变化。上节已明确了该定理的文字表述和数式表达的变化，其原因是在认定整数1为素数以后，它也能被表为素数之积：1=1×1，故整数最少可表为两个素数之积。
2．殆素数之素因子个数概念的变化。殆素数者，“素因子（相同的或相异的）个数不超过某一固定常数的整数”[2]之谓也。原来认为，素数是素因子个数不超过1的殆素数。现在既已认定整数1是素数，又据算术基本定理的新概念，就应当认为素数是素因子个数不超过2的殆素数。相应地，作为殆素数的复合数，原来认为其素因子个数最少为2，现在应认为最少为3。
3．哥德巴赫猜想命题概念的变化。歌德巴赫猜想命题（A）的算术语言表达为：（A）每一个大于2的偶数都可表为两个素数之和。现在，因为有了素数1，且偶数2可表为2=1+1，故猜想（A）的算术语言表达应为：自然数中≥2的所有偶数都可表为两个素数之和。
基于对古老埃拉托色尼筛法观念的修正和殆素数的引入，数学家又从命题（A）中引申出两个新的命题[2]，它们的分析语言表达是：（F）每一个充分大的偶数都是素因子个数分别不超过a与b的两个殆素数之和，记为（a，b）；（G）每一个充分大的偶数都可表为一个素数与一个素因子个数不超过C的殆素数之和，记为（1，c）。将以上两个命题的分析语言表达“译为”算术语言表达[4]，就是：（F）＇自然数中每一个≥8的偶数都可表为两个复合数之和；（G）＇自然数中每一个≥6的偶数都可表为一个素数与一个复合数之和。全部的数素、全部的复合数构成了全部的自然数数。于是，我们不妨将命题（A）、（F）＇、（G）＇用算术语言综合表达于一个新的命题（H）之内，这个新命题可称为“歌德巴赫问题”，即：（H）每一个≥8的偶数都可同为三种形式的两自然数之和。“译为”分析语言的表达，即为：每一个充分大的偶数都可同为三种形式的、素因子个数分别不超过h和s的两个殆素数之和，记为（h，h；h，s；s，s）。其中，h意即身为合数之殆素数，s意即身为素数之殆素数。
四、素数1的应用前景
天生我才必有用。素数1的引入，必然有其不可替代的作用。
1．使《算术基本定理》的语言表述与数式表达相一致。如前所述，自从有了素数1，才使每一个素数都能表达成为真正意义上的“素数乘积”。例如，素数3可表为3=1×3，素数5可表为5=1×5，等等。
2．使“陈氏定理”更好理解、更加完美。1966年，陈景润大师将命题（G）证到（1，2），达到该命题的光辉顶峰，被世界尊为“陈氏定理”。当你确认素数1的合法性以后，其定理的算术语言表达就应变为如下形式：每一个≥2的偶数都可表为一个素数与两个素数乘积之和。例如，2=1+1×1、4=2+1×2，6=2+2×2（或1+1×5）、8=2+2×3（或1+1×7、3+1×5）、10=1+3×3（或3+1×7、5+1×5、7+1×3）、……。其中，如果没有素数1，偶数2、4、和10都不符合“陈氏定理”的算术语言表达。
3．可为哥德巴赫猜想命题（A）的最终得证开辟一条新路。理论的分析[4]认为，在没有引入素数1之前，命题（F）之（a，b）、命题（G）之（1，c）和命题（A）之（1，1）是各自独立、互不隶属的三个数学范筹，正如由（a，b）不能导出（1，c）那样，由（1，c）也不能推出（1，1）。即是说，由（2，2）不能进一步得到（1，2），由（1，2）也不能进一步得到（1，1）。这也是原来数学家企图通过证明命题（F）或命题（G）以最终证明命题（A）的愿望最终不能实现的根本原因。
然而，素数1的引入和殆素数素因子个数概念的变化，却可将所涉哥德巴赫问题的三个数学命题（A）、（F）＇和（G）＇，用分析的语言综合于新命题（H）之内，从而使它们实现了完美而相互关联的统一。如果这是被允许的，那将是数论发展中的重大革命性事件。它使人们的思想突破了自设的种种禁锢，由此树立了哥德巴赫问题这一新的理念，并为用筛法最终证明猜想（A）铺平了道路。因为，用筛法将命题（H）证到（3，3）时，就相当于将原命题（F）证到（2，2）；证到（2，3）时，就相当于将原命题（G）证到（1，2）；若证到（2，2）时，就相当于将原命题（A）证到（1，1），即实现了哥德巴赫猜想命题（A）的最终证明。其根本原因在于，在证明命题（H）时，可由结果（3，3）进一步导出（2，3），由结果（2，3）亦可进一步导出（2.，2）。既如此，便实现了在“陈景润大师的证明结果（1+2）与哥氏猜想命题（A）的（1+1）之间架起一座自然畅通的金桥，那将是站在巨人肩头摘取皇冠明珠的一条捷径。”[5]
4．积极评价现有证明成果。用素数1引起的殆素数素因子个数变化的新概念来对现有证明结果进行评价，其结论当十分耐人寻味。（1）关于王元院士所征得的（2+3）。根据殆素数的素因子个数最少为2的新概念，王院士所证得的（2+3），其文字表达即为：每一个充分大的偶数都可表为一个素数与一个素因子个数比素数多1的殆素数之和。这实际上就是“陈氏定理”。（2）关于陈景润大师所证得的（1+2）。新概念下的文字表达即为：每一个充分大的偶数都是一个素数与一个素因子个数不大于2的殆素数之和。素因子个数不大于2的殆素数就是一个素数，所以，陈景润大师实际上已经最终证明了哥德巴赫猜想命题（A）。
五、结束语
从本文的分析中可知，素数1的被认定，决不是人为地戏说或恶搞，而是数论发展的真实召唤。没有素数1，一个完美统一的“哥德巴赫问题”——表偶数同为三种形式的两整
数之和的规律——就显得支离破碎。或许，数论中就根本不存在素因子个数为1的殆素数，数学家却要试图用筛法通过证明命题（F）以便得到“每一个充分大的偶数都是素因子个数分别不超过1的两个殆素数之和（1，1）”、或者通过证明命题（G）以便得到“每一个充分大的偶数都可表为一个素数与一个素因子个数不超过1的殆素数之和（1，1）”，其无功而返的结果就在情理之中了。本文经综合归纳提出的命题（H），它所揭示的数学本质是：在整个整数数轴上，每一个正、负偶数皆可同时表为三种形态的两整数之和，即或为两合数之和，或为两素数之和，或为一素数与一合数之和。当然，这要在引入负整数之后才能迎刃而解。然而，素数1的被认定却是最为关键的，没有素数1就没有命题（H）。因此可以毫不夸张地说：素数1是一个最为奇妙、最为伟大的素数！
参考文献
[1]潘承洞、潘承彪，著．初等数论[M]，北京，北京大学出版社出版，1998。 [2]李文林，主编．王元论哥德巴赫猜想[M]，济南，山东教育出版社出版，1999。 [3]张顺燕，编著．数学的源与流[M]，北京，高等教育出版社出版，2000。 [4]卢照田．“关于哥德巴赫猜想证明的反思（二）”，博客， http://blog.sina.com.cn/u/1237145547，2006。 [5]卢照田．“关于哥德巴赫猜想证明的反思（一）”（待发表）。 |
