方程、方程组及不等式、不等式组

方程、方程组及不等式、不等式组  

 方程、方程组及不等式、不等式组

 

    学习目标：

  1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一次方程组，会简单应用。

  2. 类比方程（组）的知识点，掌握不等式（组）的知识点。

 

二. 重点、难点

  1. 方程的有关概念，同解原理①②

  2. 方程的分类

   

  3. 一元一次方程

    ①，a一次项系数，b常数项

    ②求根公式：唯一实根

  4. 一元二次方程

    ①

    a二次项系数；b一次项系数；c常数项

    ②根的判别式：

   

    ③当时，求根公式

   

    ④解法：

    直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

    ⑤当时，根与系数a、b、c关系

    ，

    ⑥构造以为根的方程

    有无数个，构造以1为二次项系数的

   

  5. 分式方程

    ①定义；②解法：分式化整式，注意验根；③解的个数

  6. 方程组的有关概念

  7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组

    ①解法思路：消元、降次

    ②方法：代入法、加减法

  8. 解的情况：个数

  9. 不等式的概念：，或，

  10. 不等式的基本性质①②③及同解原理

  11. 不等式的解集及解法，解的个数

  12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集

  13. 注意类比的方法

  14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。

 

【典型例题】

  例1. 已知关于x的方程与的解相同，求m的值。

    解：的解为

    的解为

    两个方程的解相同，

   

    说明：若要求x的值是多少，不必将m＝2代入原方程，只需代入或，得

 

  例2. 解下列方程

    （1）

    （2）

    解：（1）方程两边同乘12，得

   

    去括号，得

    移项，得

    合并同类项，得

   

    说明：解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程，再求解。

    （2）利用公式的基本性质，原方程化为：

   

    去分母，得

   

    说明：注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆。

 

  例3. 解下列方程

    （1）

    （2）

    解：（1）设，则

    原方程可化为

    则有

    整理，得

    解得

    当时，

   

    当时，

    ，此方程无实根

    经检验，是原方程的根。

    （2）设，则

    原方程化为

    整理得

    解得

    当时，

    整理得

    解得

    当时，

    整理得

    解得

    经检验，都是原方程的根。

 

  例4. 不解方程，判断关于x的方程的根的情况。

    解：原方程整理为

   

       

   

   

    即，故原方程没有实数根。

 

  例5. m为何值时，方程（1）无实根；（2）有实根；（3）只有一个实根；（4）有两个实根；（5）有两个不等实根；（6）有两个相等实根。

    解：（1）分两种情况：

    ①当m＝1时，方程为，它有一个实根，不符合题意，舍去；

    ②当时，

    只需，即时无实根

    （2）分两种情况，当时，即

    且时方程有两个实根

    当m＝1时，方程为有一个实根

    综上所述，即时，方程有实根

    （3）当m＝1时，方程为一元一次方程，只有一个实根

    （4）当，即且时，方程有两个实根

    （5）当，即且时，方程有两个不等实根

    （6）当，即时方程有两个相等实根

    说明：一定要注意审题，区别题目的不同问法。

 

  例6. 已知关于x的一元二次方程（m为实数）的两个实数根的倒数和大于零，求m的取值范围。

    解：由题意知，应满足

    解由<1>知：

    由<2>得：

   

     

   

    把<3>、<4>代入<5>，得：

   

   

    综上所述，且

    说明：解决这类题目，常常需要列出五个条件。在本题中，<1>式因为是一元二次方程，故二次项系数；<2>式因为有两个实数根，故；<3>、<4>为一元二次方程根与系数的两个关系式；<5>是本题关于一元二次方程两实根的特殊条件。这五个条件综合起来，此题方可解出。所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语，不要遗漏条件，特别要注意挖掘隐含条件。

 

  例7. （1）设是关于x的方程的两个根，求证：；

    （2）如果关于x的方程及方程均有实数根，问方程与方程是否有相同的根？若有，请求出这个相同的根；若没有，请说明理由。

    证明：（1）由题意，得

   

   

    即原等式成立。

    （2）解：设方程与方程有相同的实数根a，则可得：

   

    ，变形为

    即

    若，则，代入方程及

    两方程均为，，无实根

    ，即

    则，即

    两个方程有相同的实数根。

    说明：第（2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注意分类讨论。

 

  例8. 已知：是关于x的方程的两个实根，且，求m的值。

    解：由一元二次方程根与系数的关系，有：

   

    均不为零

    ，即异号

    取

    设，则

   

   

   

    整理得

   

    将和分别代入中，符合

   

    反思：

    通过此题的分析及解题过程，应注意以下几点：

    （1）由去掉绝对值符号时，一定要考虑的正、负；

    （2）求m的过程中，通过设参数较为简便，也可利用的关系代入去求；

    （3）求出m的值后，还应代入去检验是否符合。

 

  例9. 解方程组：

   

    解法一：（用代入法）

    由<2>得：

    把<3>代入<1>得：

   

    整理，得

   

    把代入<3>，得

    把代入<3>，得

    原方程组的解为，

    解法二：（用因式分解法）

    方程<1>可化为

    即

    或

    原方程组可化为：

    和

    分别解得，

    说明：此题为I型二元二次方程组，一般可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值。

 

  例10. 解方程组

    解：由<1>得：

    或

    由<2>，得

    或

    原方程组化为以下四个方程组：

    ，，，

    原方程组的解为：

   

    说明：此题为II型二元二次方程组，要注意根据方程的特点，选择恰当的方法去解。

 

  例11. 解下列方程组：

    （1）

    （2）

    （3）

    （1）分析：此题是I型二元二次方程组，可以用代入法来解，再介绍另外一种解法。

    解：方程<1>是x与2y的和，方程<2>是x与2y的积

    x与2y是方程的两个根

    解此方程得

    或

    即原方程组的解是，

    （2）解：得：

   ，

    得：

   

    可化为以下四个方程组：