代数：用公式法分解因式 几何：关于三角形的一些概念

代数：用公式法分解因式 几何：关于三角形的一些概念  

  代数：用公式法分解因式

    几何：关于三角形的一些概念

 

［学习目标］

    代数：掌握运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解。

    几何：理解三角形的基本概念并会画出三角形的高、中线、角平分线。

 

二. 重点、难点：

（一）重点：

  1. 代数：用公式法分解因式。

  2. 几何：理解基本概念，会画三条重要线段。

（二）难点：

  1. 代数：正确地运用公式分解因式。

  2. 几何：画出三角形的三条重要线段，特别是钝角三角形的高。

 

三. 内容概要：

    ［代数］用公式法分解因式

  1. 平方差公式：

   

    （1）公式特点：左边是平方差的形式，右边是两数和与差的乘积。

    （2）符号含义：公式中的符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式。

    （3）应用公式的条件：多项式可以写成两部分的平方差的形式，即。

  2. 完全平方公式：

   

    （1）公式特点：左边是一个三项式，两个数的平方和加上（或减去）这两数的积的2倍，右边是这两个数和（或差）的平方。

    （2）符号含义：公式中符号a、b可以是：任何数、单项式、多项式。

    （3）应用公式的条件：多项式可以写成三部分，符合以下条件：

   

  3. 解题步骤：

    （1）观察多项式，如果能提公因式，先提公因式。

    （2）观察多项式，只有使多项式符合公式特点，才能利用公式因式分解。

    （3）在因式分解的结果中，保证每一个因式都不能再分解。

 

    ［几何］

  1. 三角形基本概念：三角形、边、角、顶点

  2. 三角形的三条重要线段：

    （1）三角形的角平分线

    （2）三角形的中线

    （3）三角形的高

    ①锐角三角形

    ②直角三角形

    ③钝角三角形

 

【典型例题】

  例1. 将分解因式。

    分析：式中没有明显的平方差结构，但提取公因式x后，剩下的因式就可以用平方差公式。

    解：

     

      ——等价变形

     

      ——合并同类项

     

    小结：先提取公因式，再利用平方差公式。

 

  例2. 将分解因式。

    分析：该多项式有三部分，但没有明显的完全平方结构。如果提取公因式，就可用完全平方式了。

    解：

      

    小结：提公因式与完全平方公式混合使用分解因式。

 

  例3. 将分解因式。

    分析：该多项式有三项，二项平方和，另一项是，的积的2倍，符合完全平方差公式。

    解：

      

       ——要保证因式不可再分解

      

    小结：平方差公式、完全平方差公式混合使用。

 

  例4.

    分析：该多项式有二项，符合平方差公式的结构，由平方差公式得，则都是完全平方式，可再用完全平方式把因式分解到最简。

    解：

     

      ——完全平方式

     

    小结：平方差公式、完全平方公式混合使用。

 

  例5. 计算：

    分析：这道题可直接计算，但比较繁琐。仔细观察，该式有两项，且是两项的平方差，所以可用平方差公式因式分解，再计算。

    解：

     

      ——平方差公式

     

 

    小结：利用公式因式分解后再计算，可使计算简便。

 

  例6. 判断对错，对的打“√”号，错的打“×”号。

    （1）三角形的顶点到对边的距离是三角形的高。（    ）

    （2）三角形的高所在直线交于一点，这点不是在三角形内，就是在三角形外。（    ）

    （3）过三角形的一个顶点和它对边中点的直线是三角形的中线。（    ）

    （4）三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。（    ）

    （5）三角形的角平分线就是三角形内角的平分线。（    ）

    解：（1）×。因为高是一条线段，高的长度才是三角形的顶点到对边的距离。

    （2）×  。锐角三角形的高交于三角形内部。

              钝角三角形的高的延长线交于三角形外部。

              直角三角形的高交于三角形的直角顶点。

    （3）×。中线是线段。

    （4）√

    （5）×。角平分线是线段，不是直线。

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 将下列各项因式分解。

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

 

二. 计算：

    （1）

    （2）

    （3）已知：，求：的值。

 

三. 证明题。

    （1）求证：能被120整除。

    （2）若a为大于1的整数，证明能被6整除。

 

四. 判断题。

    （1）三角形的高是一条线。（    ）

    （2）三条线段组成的图形叫做三角形。（    ）

    （3）三角形三条高都在三角形内部。（    ）

    （4）三角形的角平分线是射线。（    ）

 

五. 解答题。

  1. 写出含有AC边的所有三角形，图中共有几个三角形？

  2. 已知三角形三边为连续整数，且最小边长既是偶数又是质数，求三边长。

  3. △ABD的高与△ABC的高相等，若AB＝4cm，△ABC的面积，求△ABD中AB边上的高。

 

【试题答案】

一. 将下列各式因式分解。

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

二. 计算。

    （1）原式

    （2）原式

             

    （3）

    ∴原式

         

三. 证明题。

    （1）

    故能被120整除

    （2）

    是三个连续整数

    是6的倍数

    能被6整除

四. 判断题。

    （1）×         （2）×         （3）×         （4）×

五. 解答题。

  1. 含有AC边的三角形：△AFC、△ADC、△AEC、△ABC，图中共有9个三角形。

  2. 既是偶数又是质数的数是2，∴三边长为2，3，4。

  3. 在△ABC中，AB边上的高

    而△ABD中AB边上的高与△ABC中AB边上的高相等

    ∴△ABD中AB边上的高为6cm