代数:求立方根及用根号表示立方根;几何:等腰三角形的性质和判定常添的辅助线 代数:求立方根及用根号表示立方根;
几何:等腰三角形的性质和判定常添的辅助线
[学习目标] 代数:会求立方根,会用根号表示立方根; 几何:会添加一些常见的辅助线
二. 重点、难点: 重点: 代数:立方根的理解 几何:添加辅助线 难点: 代数:立方根的求解及表示 几何:辅助线的添加属于构造图形,相对来说是较难的。
三. 知识要点: 代数: 1. 立方根(三次方根)—— 2. 开立方:立方开立方 3. 立方根的个数—— 4. 平方根与立方根的比较 (1)任何数都有立方根,而负数没有平方根。 (2)任何数的立方根只有一个,而正数有两个平方根。 5. 用计算器求立方根 几何 等腰三角形—— 应用等腰三角形的性质和判定解题时常添的辅助线: (1)连结两点构成等腰三角形 (2)截取或延长线段,得到相等的线段,构成等腰三角形 (3)作等腰三角形顶角的平分线或底边上的高线或底边上的中线 (4)在大角内作一个角等于已知小角,构成等腰三角形
【典型例题】 例1. 求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) (5) 分析: (1)首先把带分数转化成假分数 (2)(3)先把被开方数写成3次方的形式 (4)注意符号问题 (5)先计算出被开方数,写成假分数的形式 解:(1) (2) (3) (4) (5)
例2. 解方程 (1) (2) 分析:(1)x即是0.125的立方根 (2)把方程化为,把看成一个整体。 解:(1) (2)
例3. 已知:△ABC中,AB=AC,D点在AC上,求证:∠ADB>∠ABD。
分析:(1)可通过作辅助线把大角化小角,进而比较出∠ADB、∠ABD的大小。 (2)也可不做辅助线,利用传递性证出结论 证明: 方法一:过点D作DE∥BC交AB于E ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C(等边对等角) ∵DE∥CB ∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C(两直线平行,同位角相等) ∴∠AED=∠ADE(等量代换) 又∠AED=∠ABD+∠1(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∴∠AED>∠ABD ∴∠ADE>∠ABD 又∠ADB>∠ADE ∴∠ADB>∠ABD 方法二:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C(等边对等角) 又∠ADB=∠C+∠2(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∴∠ADB>∠C 即∠ADB>∠ABC 又∠ABC>∠ABD ∴∠ADB>∠ABD
例4. 已知:∠EBC的角平分线与∠FCB的角平分线交于点D,BE∥CF 求证:BE+CF=BC
分析:要证BE+CF=BC,必须把BE,CF放在一条线上。 证明:延长CD交BE的延长线于A, ∵BE∥CF ∴∠EAD=∠DCF(两直线平行,内错角相等) 又∠BCD=∠DCF(角平分线定义) ∴∠EAD=∠BCD(等量代换) ∴△ABC为等腰三角形(等角对等边) 又BD是∠EBC的角平分线 ∴AD=CD(等腰三角形顶角角平分线与底边中线重合) 在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(ASA) ∴AE=CF(全等三角形对应边相等) ∵BE+AE=AB ∴BE+CF=AB(等量代换) 又∵AB=AC ∴BE+CF=BC(同上)
【模拟试题】(答题时间:30分钟) 1. 求值: (1) (2) (3) 2. 解方程: (1) (2) (3) (4) (5) 3. 如图,已知△ABC是等边三角形,D为△ABC外一点,且∠D=60°,DB=DE, 求证:AE=CD
【试题答案】 1. (1)±3 (2) (3)-2 2. (1) (2) (3) (4) (5) 3. 提示:连结BE,证△ABE≌△CBD,从而证出AE=CD。 |
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