代数：数的开方的复习课 几何：等腰三角形的复习课

代数：数的开方的复习课 几何：等腰三角形的复习课  

 代数：数的开方的复习课

    几何：等腰三角形的复习课

 

［学习目标］

    代数：能够计算且用符号表示一个数的平方根、算术平方根、立方根；了解实数的分类及无理数的意义。

    几何：能够综合运用等腰三角形性质定理，判定定理及其推论解题。

 

二. 重点、难点：

  1. 重点：

    代数：平方根，算术平方根，立方根，及实数分类。

    几何：判定定理，性质定理，推论的综合应用。

  2. 难点：

    代数：平方根，立方根的区别与联系；无理数的意义。

    几何：判定定理，性质定理，推论的综合应用。

 

三. 知识要点：

［代数］

  1. 平方根

  2. 立方根

  3. 实数

   

   

    无理数：并不全是根号开不尽的数，例如：。

 

［几何］

   

   

 

【典型例题】

  例1. 填空：

    （1）在实数中，有理数有________________；无理数有________________。

    （2）两个无理数的和、差、积、商一定是________________。

    （3）的算术平方根________________。

    （4），则________________。

    （5）如果的整数部分为a，小数部分是b，则a=__________，b=__________。

    解：（1）本题考察的是有理数、无理数的概念。

    有理数：，其余为无理数。

    （2）本题考察的是实数的运算，应填：实数。

    （3）本题考察的是算术平方根的概念，应填：。

    （4）本题考察的是平方根的概念：

   

    （5）本题考察的是无理数的大小问题。

   

    的整数部分，小数部分

 

  例2. 已知，求的值。

    分析：本题考察的是实数的绝对值的意义。

   

    ∴有4种可能

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

 

  例3. 已知：B、C、E在同一直线上，△ABC、△DEC是等边三角形，BD交AC于Q，AE交CD于P，求证：

    （1）BD＝AE；

    （2）△CPQ是等边三角形；

    （3）PQ∥BC。

    分析：（1）证BD、AE所在的△BDC和△AEC全等。

    （2）可证CQ＝PC，可通过证△CEP与△CQD全等来证。

    （3）由△PCQ为等边三角形可得∠QPC＝60°，可通过内错角相等来证PQ∥BC。

    证明：（1）∵△ABC，△DEC为等边三角形

    ∴∠ACB＝∠DCE＝60°

    在△BCD和△ACE中，

   

    ∴△BCD≌△ACE（SAS）

    ∴BD＝AE（全等三角形的对应边相等）

    （2）由（1）∠CDQ＝∠CEP（全等三角形的对应角相等）

    ∵∠BCE＝180°

    ∴∠QCP＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°

    在△CDQ和△CEP中，

   

    ∴△CDQ≌△CEP（ASA）

    ∴CQ＝CP（全等三角形对应边相等）

    在△PCQ中，∠PCQ＝60°

    ∴△PCQ为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

    （3）∵△CPQ是等边三角形

    ∴∠PQC＝60°（等边三角形的每一个角都是60°）

    ∴∠PQC＝∠BCQ

    ∴PQ∥BC（内错角相等，两直线平行）

 

  例4. 如图：AB＝AC，BC∥DE，AD、AE分别交BC于点G、H，∠ADE＝∠AED。

    求证：BG＝CH

    证明：∵BC∥DE

    ∴∠1＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）

    同理，∠2＝∠AED

    又∠ADE＝∠AED

    ∴∠1＝∠2（等量代换）

    ∴AG＝AH（等角对等边）

    过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO

    ∴BO＝CO（等腰三角形底边的高与底边的中线重合）

    ∵AO⊥GH

    ∴GO＝OH（同上）

    ∴BG＝CH（等量代换）

 

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一. 填空。

  1. 在实数中，无理数为__________。

  2. 点A在数轴上与1相距个单位，则点A表示的实数为__________。

  3. 的平方根__________；算术平方根__________。

  4. 的整数部分是__________，小数部分是__________。

 

二. 求值。

  1. 已知，求的算术平方根、立方根。

  2. 已知a是5的算术平方根，求不等式的正整数解。

 

三. 证明题。

    在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于E点，交BC于F点。

    求证：CF＝2BF

 

【试题答案】

一. 填空。

  1.

  2. 或

  3.

  4. 2，

二. 求值。

  1. 提示：

   

    的算术平方根为，立方根为

  2. 提示：由得：

   

三. 证明题。

    提示：连结AF

    由EF垂直平分AB，可得：

    AF＝BF，∠EAF＝∠B

    ∵∠BAC＝120°，AB＝AC

    ∴∠B＝∠C＝30°

    ∴∠EAF＝30°

    从而∠FAC＝90°

    在Rt△ACF中，，从而CF＝2BF