2012年中考数学冲刺复习——压轴题
1.（2008年四川省宜宾市）
已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
求该抛物线的解析式；
若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；
△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）
.
2.（08浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.
3.（08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于
，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
4.（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙，在⊙．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积；（2）当x为何值时，⊙与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=(k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；
（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=(k>0)于P，Q两点，点P在第一象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.
6.（2008浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7.(2008浙江义乌)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
8.(2008浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线．将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E．
（1）将直线向右平移，设平移距离CD为(t0)，直角梯形OABC被直线扫过的面积（图中阴影部份）为，关于的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．
①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；
②当时，求S关于的函数解析式；
（2）在第（1）题的条件下，当直线向左或向右平移时（包括与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．
9.(2008山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
10.(2008山东烟台)如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.
11.2008淅江宁波)2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
12.(2008淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
第一步将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；
第二步 将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．
则的值是，的长分别是，．
（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．
（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．
（4）已知梯形中，，，，且四个顶点都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
13.（2008山东威海）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝，CD＝，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥，ME⊥，NF⊥，垂足分别为E，F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）四边形MEFN为正方形，
求出正方形MEFN的面积；
14．（2008山东威海）如图，点A（，），（，）反比例函数的图象上．（1）
（2）M为x轴，Ny轴，A，B，M，N为的四边形平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标
为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平
移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，
则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．
15．（2008湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.
请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
16.(2008年浙江省绍兴市放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与
能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
17.(2008年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.(2008年四川省巴中市)已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．
（1）写出直线的解析式．
（2）求的面积．
（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？
20.(2008年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sin∠OAB=.
（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；
（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积，求∶的值.
21.(2008年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程的两根:
求m，n的值
若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式
过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由
22.(2008年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；
(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）
23.(天津市2008年已知抛物线，
（）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（）若，且时，；时，，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．2008年大庆市)
如图①，四边形和都是正方形，它们的边长分别为（），且点在上（以下问题的结果均可用的代数式表示）．
（1）求；
（2）把正方形绕点按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的；
（3）把正方形绕点旋转一周，在旋转的过程中，是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．
.
25.（2008年上海市）已知，，（如图13）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．
26.（2008年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．
如图，甲，乙两村坐落在夹角为的两条公路的段和段（村子和公路的宽均不计），点表示这所中学．点在点的北偏西的3km处，点在点的正西方向，点在点的南偏西的km处．
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段某处），甲村要求管道建设到处，请你在图①中，画出铺设到点和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
27.（2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
28.（2008年江苏省南通市）已知双曲线与直线相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C.
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.
29.（2008年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
压轴题答案
1.解：（1）由已知得：解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
（3）相似
如图，BD=
BE=
DE=
所以,即：,所以是直角三角形
所以,且,
所以.
2.(1)∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，)，
∴，
∴
当点A′在线段AB上时，∵，TA=TA′，
∴△A′TA是等边三角形，且，
∴，，
∴，
当A′与B重合时，AT=AB=，
所以此时.
(2)当点A′在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA′与CB的交点)，
当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)
又由(1)中求得当A′与B重合时，T的坐标是(6，0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，.
(3)S存在最大值
当时，，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是.
当时，由图，重叠部分的面积
∵△A′EB的高是，
∴
当t=2时，S的值最大是；
当，即当点A′和点P都在线段AB的延长线是(如图，其中E是TA′与CB的交点，F是TP与CB的交点)，
∵，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴
综上所述，S的最大值是，此时t的值是.
3.解：（1），，，．
点为中点，．
，．
，
，．
（2），．
，，
，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
，，
．
，，
，．
②当时，，
．
③当时，则为中垂线上的点，
于是点为的中点，
．
，
，．
综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．
4.解：（）∵MN∥BC∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．……………分
∴．＜＜4……………3分
（）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC＝=5．
△AMN∽△ABC．
∴，即．
∴，
∴．…………………5分
过M点作MQ⊥BC于，则．
在Rt△BM与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．∴．
∴，．∴x＝．∴当x＝．…………………………………分
（3）M的运动，当P点在直线BC上时，连结AP，O点AP的中点．
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B∠AOM＝∠APC．
∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．以下分两种情况讨论：①当0＜2时，．∴当2时，……………………………………分②当2＜＜4时，设PMPN分别BC于E，F．
∵四边形AMPN是矩形∴PN∥AM，PN＝AM＝．又MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形．N＝BM＝4－．∴．△PEF∽△ACB．∴．∴．………………………………………………分
＝．……………………分
当2＜＜4时，．∴当时，2＜＜4，．……………………11分综上所述，当时，值最大，最大值是2．…………………………12分
，
∴B(,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,的以直线AB的解析式为
（2）由旋转知，AP=AD,∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=
6.解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o=，∴B(,2)
∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,
以直线AB的解析式为
（2）由旋转知，AP=AD,∠PAD=60o,
∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=
如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°
∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,
∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=
∴D(,)
(3)设OP=x,则由（2）可得D()若ΔOPD的面积为：
解得：所以P(,0)
7.解:
(1)①………………………………………………………………2分
②仍然成立……………………………………………………1分
在图（2）中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴，，
∴…………………………………………………………………1分
∴（SAS）………………………………………………………1分
∴
又∵
∴∴
∴…………………………………………………………………………1分
（2）成立，不成立…………………………………………………2分
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形，
且，，，(，)
∴，
∴
∴………………………………………………………………………1分
∴
又∵
∴∴
∴……………………………………………………………………………1分
（3）∴
又∵，，
∴………………………………………………1分
∴………………………………………………………………………1分
8.解：
（1）①……………………………………………………………………………2分
，，S梯形OABC=12……………………………………………2分
②当时，
直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积
…………………………………………4分
（2）存在……………………………………………………………………………………1分
…（每个点对各得1分）……5分
对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：
以点D为直角顶点，作轴
设.（图示阴影）
，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）
E点在0点与A点之间不可能；
②以点E为直角顶点
同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能.
以点P为直角顶点
同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），
E点在A点下方不可能.
综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
下面提供参考解法二：
以直角进行分类进行讨论（分三类）：
第一类如上解法⑴中所示图
，直线的中垂线方程：，令得．由已知可得即化简得解得；
第二类如上解法②中所示图
，直线的方程：，令得．由已知可得即化简得解之得，
第三类如上解法③中所示图
，直线的方程：，令得．由已知可得即解得
（与重合舍去）．
综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、
P（8，4）、P（4，4）．
事实上，我们可以得到更一般的结论：
如果得出设，则P点的情形如下
直角分类情形
9.
10.
11.解：（1）设地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为千米，
由题意得， 2分
解得．
地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． 4分
（2）（元），
该车货物从地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． 6分
（3）设这批货物有车，
由题意得， 8分
整理得，
解得，（不合题意，舍去）， 9分
这批货物有8车． 10分
12.解：（1）． 3分
（2）相等，比值为． 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分）
（3）设，
在矩形中，，
，
，
，
，
． 6分
同理．
，
，
． 7分
，
， 8分
解得．
即． 9分
（4）， 10分
． 12分
13.解：（1）分别过两点作⊥AB于点，⊥AB于点．……………分AB∥CD，＝，∥CH．为形＝＝1．＝，AD＝BC，AGD＝∠BHC＝90°，AGD≌△BHC（HL）．＝＝3．………2分AGD中，AG＝，AD＝5＝． ．………………………………………………3分（2）MN∥AB，ME⊥，NF⊥，ME＝NF，ME∥NF．MEFN为形．AB∥CD，AD＝BC，．ME＝NF，MEA＝∠NFB＝90°，．E＝F．……………………4分E＝EF＝72x．……………5分，MEA＝∠DGA＝90°，MEA∽△DGA．．ME＝．…………………………………………………………6分．……………………8分时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值．……………分（3）……………………………………………………………………10分，E＝EF＝72x，ME＝．四边形MEFN为正方形ME＝EF．7－2x．．……………………………………………11分EF＝．四边形MEFN．
（1）．m＝3．………………………………3分A（，），（，）．……………………………4分（2）M点在x轴轴N点在y轴轴M1点坐标为（x，）N1点坐标为（，y）四边形ANM1B为平行四边形N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，
再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．
由（1）知A点坐标为（，）B点坐标为（，）N1点坐标为（，）N1（，）………………………………5分M1点坐标为（，）M1（，）………………………………6分直线MN1的函数表达式，把x＝3，y＝0代入，解得．
∴直线MN1的函数表达式．……………………………………分M点在x轴轴N点在y轴轴M2点坐标为（x，）N2点坐标为（，y）AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，
∴N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．
∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．
∴M2点坐标为（3，）N2点坐标为（，）………………………9分直线MN2的函数表达式，把x＝-3，y＝0代入，解得，
∴直线MN2的函数表达式．直线MN的函数表达式或．………………11分．………………………………………………2分A(-1,0)，B(3,0)；
则设抛物线的解析式为(a≠0)
又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1
∴y=x2-2x-3 3分
自变量范围：-1≤x≤3 4分
解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)
根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上
∴，解之得：
∴y=x2-2x-3 3分
自变量范围：-1≤x≤3 4分
(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，
在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=
在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4
∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 6分
∴切线CE的解析式为 8分
(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0) 9分
由题意可知方程组只有一组解
即有两个相等实根，∴k=-2 11分
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3 12分
16.
解：（1），．
（2）当时，过点作，交于，如图1，
则，，
，．
（3）①能与平行．
若，如图2，则，
即，，而，
．
②不能与垂直．
若，延长交于，如图3，
则．
．
．
又，，
，
，而，
不存在．
17.解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．
， 1分
点都在抛物线上，
抛物线的解析式为 3分
顶点 4分
（2）存在 5分
7分
9分
（3）存在 10分
理由：
解法一：
延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．
11分
过点作于点．
点在抛物线上，
在中，，
，，
在中，，
，， 12分
设直线的解析式为
解得
13分
解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 14分
解法二：
过点作的垂线交轴于点，则点为点关于直线的对称点．连接交于点，则点即为所求． 11分
过点作轴于点，则，．
，
同方法一可求得．
在中，，，可求得，
为线段的垂直平分线，可证得为等边三角形，
垂直平分．
即点为点关于的对称点． 12分
设直线的解析式为，由题意得
解得
13分
解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 1
18.解：（1）点在轴上 1分
理由如下：
连接，如图所示，在中，，，
，
由题意可知：
点在轴上，点在轴上． 3分
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为 5分
由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为 6分
抛物线经过点，
由题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为： 9分
（3）存在符合条件的点，点． 10分
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2 11分
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得，，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，． 14分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
19.解：（1）在中，令
，
， 1分
又点在上
的解析式为 2分
（2）由，得 4分
，
， 5分
6分
（3）过点作于点
7分
8分
由直线可得：
在中，，，则
， 9分
10分
11分
此抛物线开口向下，当时，
当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为．
20.解：（1）如图，过点B作BD⊥OA于点D.
在Rt△ABD中，
∵∣AB∣=,sin∠OAB=,
∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB
=×=3.
又由勾股定理，得
∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4.
∵点B在第一象限，∴点B的坐标为（4，3）.……3分
设经过O(0,0)、C（4，-3）、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为
y=ax2+bx(a≠0).
由
∴经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式为……2分
（2）假设在（1）中的抛物线上存在点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形
①∵点C（4，-3）不是抛物线的顶点，
∴过点C做直线OA的平行线与抛物线交于点P1.
则直线CP1的函数表达式为y=-3.
对于，令y=-3x=4或x=6.
∴
而点C（4，-3），∴P1(6,-3).
在四边形P1AOC中，CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣.
∴点P1（6，-3）是符合要求的点.……1分
②若AP2∥CO.设直线CO的函数表达式为
将点C（4，-3）代入，得
∴直线CO的函数表达式为
于是可设直线AP2的函数表达式为
将点A（10，0）代入，得
∴直线AP2的函数表达式为
由，即（x-10）（x+6）
而点A（10，0），∴P2（-6，12）.
过点P2作P2E⊥x轴于点E，则∣P2E∣=12.
在Rt△AP2E中，由勾股定理，得
而∣CO∣=∣OB∣=5.
∴在四边形P2OCA中，AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣.
∴点P2（-6，12）是符合要求的点.……1分
③若OP3∥CA,设直线CA的函数表达式为y=k2x+b2
将点A(10,0)、C(4,-3)代入，得
∴直线CA的函数表达式为
∴直线OP3的函数表达式为
由即x(x-14)=0.
∴
而点O(0,0),∴P3（14，7）.
过点P3作P3E⊥x轴于点E，则∣P3E∣=7.
在Rt△OP3E中，由勾股定理，得
而∣CA∣=∣AB∣=.
∴在四边形P3OCA中，OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣.
∴点P3（14，7）是符合要求的点.……1分
综上可知，在（1）中的抛物线上存在点P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7),
使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形.……1分
（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下.
①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y轴的副半轴交与点N.
可设抛物线的函数表达式为（a＞0）.
即
如图，过点M作MG⊥x轴于点G.
∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G(、N(0，-10ak2)、M
∴
∴……2分
②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y轴的正半轴交于点N，
同理，可得……1分
综上所知，的值为3：20.……1分
21.解：
(1)m=-5,n=-3
(2)y=x+2
(3)是定值.
因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h，
设△ABCAB边上的高为H,
则利用面积法可得：
（CM+CN）h=MN﹒H
又H=
化简可得(CM+CN)﹒
故
22.解：（1）由已知得：解得
c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)
设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
（3）相似
如图，BD=
BE=
DE=
所以,即：,所以是直角三角形
所以,且,
所以.
23.解（Ⅰ）当，时，抛物线为，
方程的两个根为，．
∴该抛物线与轴公共点的坐标是和．2分
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有≤．3分
①当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点．4分
②当时，
时，，
时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有即
解得．
综上，或．6分
（Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，；时，，
又，∴．
于是．而，∴，即．
∴．7分
∵关于的一元二次方程的判别式
，
∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．8分又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
∴．
又由已知时，；时，，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点．10分
24.解：（1）∵点在上，
∴，
∴，
∴.
（2）连结，由题意易知，
∴.
（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆.
第一种情况：当b>2a时，存在最大值及最小值；
因为的边，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，取得最大、最小值.
如图②所示时，
的最大值=
的最小值=
第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值；
的最大值=.（如果答案为4a2或b2也可）
25.解：（1）取中点，联结，
为的中点，，． （1分）
又，． （1分）
，得； （2分）（1分）
（2）由已知得． （1分）
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，即． （2分）
解得，即线段的长为； （1分）
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得． （1分）
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得； （2分）②当时，，．
．又，．
，即，得．
解得，（舍去）．即线段的长为2． （2分）
综上所述，所求线段的长为8或2．
26.解：方案一：由题意可得：，
点到甲村的最短距离为． （1分）
点到乙村的最短距离为．
将供水站建在点处时，管道沿铁路建设的长度之和最小．
即最小值为． （3分）
方案二：如图①，作点关于射线的对称点，则，连接交于点，则．
，． （4分）
在中，
，，
，两点重合．即过点． （分）
在线段上任取一点，连接，则．
，
把供水站建在乙村的点处，管道沿线路铺设的长度之和最小．
即最小值为． （7分）
关于射线的对称点，连接，则．
作于点，交于点，交于点，
为点到的最短距离，即．
在中，，，
．．
，两点重合，即过点．
在中，，． （10分）上任取一点，过作于点，连接．
显然．
把供水站建在甲村的处，管道沿线路铺设的长度之和最小．
即最小值为． （11分）
综上，，供水站建在处，所需铺设的管道长度最短． （12分）
∴当t为秒时，PQ∥BC
………………2分
（2）过点Q作QD⊥AB于点D，则易证△AQD∽△ABC
∴AQ∶QD＝AB∶BC
∴2t∶DQ＝5∶3，∴DQ＝
∴△APQ的面积：×AP×QD＝（5－t）×
∴y与t之间的函数关系式为：y＝
………………5分
（3）由题意：
当面积被平分时有：＝××3×4，解得：t＝
当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3，解得：t＝1
∴不存在这样t的值
………………8分
（4）过点P作PE⊥BC于E
易证：△PAE∽△ABC，当PE＝QC时，△PQC为等腰三角形，此时△QCP′为菱形
∵△PAE∽△ABC，∴PE∶PB＝AC∶AB，∴PE∶t＝4∶5，解得：PE＝
∵QC＝4－2t，∴2×＝4－2t,解得：t＝
∴当t＝时，四边形PQP′C为菱形
此时，PE＝，BE＝，∴CE＝
………………10分
在Rt△CPE中，根据勾股定理可知：PC＝＝＝
∴此菱形的边长为cm ………………12分
28.解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y＝－2.
∴B点坐标为（－8，－2）.而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）
从而k＝8×2＝16
（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上,
∴mn＝k，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）
＝2mn＝2k，＝mn＝k，＝mn＝k.
∴＝――＝k.∴k＝4.
由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1）
∴C（－4，－2），M（2，2）
设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得
，解得a＝b＝
∴直线CM的解析式是y＝x＋.
（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1
设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a.于是，
同理
∴p－q＝－＝－2
29.解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
（3分）（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．
由，得，
，，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）
或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，，，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）
评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．
30解：（1）；，．
（2）设存在实数，使抛物线上有一点，满足以为顶点的三角形与等腰直角相似．
以为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以为直角边的等腰直角三角形，另一类是以为斜边的等腰直角三角形．
①若为等腰直角三角形的直角边，则．
由抛物线得：，．
，．的坐标为．
把代入抛物线解析式，得．
抛物线解析式为．
即．
②若为等腰直角三角形的斜边，
则，．
的坐标为．
把代入抛物线解析式，得．
抛物线解析式为，即
当时，在抛物线上存在一点满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的点，不妨设为点，那么只有可能是以为斜边的等腰直角三角形，由此得，显然不在抛物线上，因此抛物线上没有符合条件的其他的点．
当时，同理可得抛物线上没有符合条件的其他的点．
当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，
和都是等腰直角三角形，．
又，．
，，总满足．
当的坐标为，对应的抛物线解析式为时，
同理可证得：，总满足
31.解：（1）如图所示： 4分
（注：正确画出1个图得2分，无作图痕迹或痕迹不正确不得分）
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 6分
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 8分
（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）． 10分
理由如下：
由，
，，
故是锐角三角形，
所以其最小覆盖圆为的外接圆，
设此外接圆为，直线与交于点，
则．
故点在内，从而也是四边形的最小覆盖圆．
所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．
12分
-1-
y
B
C
y
T
A
C
B
O
x
O
T
A
x
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
A
B
C
M
N
P
图3
O
A
B
C
M
N
D
图2
O
A
B
C
M
N
P
图1
O
x
y
B
A
O
图1
B
A
O
P
Q
图2
①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形．
②本题中所求边长或面积都用含的代数式表示．
A
B
C
D
B
C
A
D
E
G
H
F
F
E
4开
2开
8开
16开
图1
图2
图3
a
C
D
A
B
E
F
N
M
x
O
y
A
B
友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．
x
O
y
1
2
3
1
Q
P
2
P1
Q1
A
O
B
M
D
C
图12
y
x
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
E
A
O
x
y
B
F
C
图16
y
x
O
D
E
C
F
A
B
A
C
O
B
N
D
M
L`
D
C
B
A
E
F
G
G
F
E
A
B
C
D
①
②
B
A
D
M
E
C
图13
B
A
D
C
备用图
M
A
E
C
D
B
F
乙村
甲村
东
北
图①
M
A
E
C
D
B
F
乙村
甲村
图②
O
O
图②
A
Q
C
P
B
图①
A
Q
C
P
B
图4
图3
图2
图1
A′
y
E
x
O
C
T
P
B
A
A′
y
x
P
B
E
F
C
A
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A
B
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D
E
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P
H
Q
M
2
1
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
A
B
C
D
E
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P
H
Q
A
B
C
M
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P
图1
O
A
B
C
M
N
D
图2
O
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A
B
C
M
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图3
O
A
B
C
M
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图4
O
E
F
C
D
A
B
E
F
N
M
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H
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B
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M
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H
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O
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A
B
M1
N1
M2
N2
A
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解图12
y
x
E
图1
O
P
A
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B
D
C
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图2
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A
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B
C
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y
图3
O
F
A
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B
C
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P
A
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x
y
B
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C
图9
H
B
M
A
O
x
y
B
F
C
图10
H
M
G
y
x
O
D
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C
F
A
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M
x
y
A
B
C
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M
D
P
N
O
x
F1
O
D
C
A
B
G
F
E
F2
M
A
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C
D
B
F
甲村
东
北
M
A
E
C
D
B
F
(第25题答案图①)
A
G
H
(第25题答案图②)
P
O
O
N
B
F
D
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H
O
图2
图3
D
C
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B
E
A
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A
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B
图1
D
x
y
N
O
M
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A
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B
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A
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B
B
C
C
G
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M
|
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