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圆的概念及确定
［教学目标］ 1. 了解圆的定义，点与圆的位置关系；理解等圆、等弧的概念和与圆有关的概念。 2. 了解轨迹的意义，掌握五个基本轨迹。 3. 圆的定义 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点称为圆心，定长称为半径。 4. 圆外部分、圆内部分 5. 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有： 6. 理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。 7. 会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。 8. 了解三角形外心的概念。 9. 过三点的圆 确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。 此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。 特别要注意的是，过任意三点不一定能作圆，如果三点在同一直线上，则不能作圆。 10. 反证法 从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。
二. 重点、难点： 圆的概念及三点确定一个圆的方法。
【典型例题】 例1. 如图所示，已知矩形ABCD的边 （1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
点悟：要判定B、C、D与⊙A的位置，只须比较AB、AC、AD的长度与半径4cm的大小。 解：（1）∵AB＝3cm＜4cm ∴点B在⊙A内 ∵AD＝4cm ∴点D在⊙A上 ∴点C在⊙A外 （2）∵AB＝3cm，AD＝4cm，AC＝5cm 也就是说，B点到圆心A的距离3cm是最短距离，C点到圆心A的距离5cm是最长距离。 ∴使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm。 点拨：要判定平面上一点与圆的位置关系，只须比较该点到圆心的距离与半径的大小。
例2. 画图说明满足下列条件的点的轨迹。 （1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹； （2）边 点悟：（1）圆心是动点，且圆要经过点A，故圆心必须到定点A的距离等于2cm，属轨迹1。 （2）因为△ABC的面积为 解：（1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹，是以A为圆心，2cm为半径的圆。如图所示（甲）：
（2）边
点拨：根据给定的条件，探求并确定符合条件的轨迹图形，通常是转化为五个基本轨迹。
例3. 下图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点。甲虫沿
A. 甲先到B点 B. 乙先到B点 C. 甲、乙同时到B点 D. 无法确定 （2002年吉林） 解：设大圆的半径为R，小圆的半径分别为 故大圆的半周长 因此，甲、乙两虫同时到达B点。 故选C。
例4. ⊙O半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1，问P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？ 点悟：这是一个很有趣的问题。打一个比方，若把O点看作太阳，则P点好比是地球，Q点好比是月亮。P点到O点距离是2，P点运动时，带着Q也运动，则PQ始终是1。 解：∵PO＜2.5 ∴P点在⊙O内部 Q点和O点的距离较复杂，当Q点在OP延长线上时，Q点和O点距离最大，最大距离是3；当Q点在OP上时，Q点和O点的距离最小，最小距离是1；当Q点处在
∴Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，⊙O内。
例5. 求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上。 已知：如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 求证：E、F、G、H四个点在以O为圆心的同一圆上。
点拨：判定E、F、G、H四个点在同一圆上，根据圆的定义，它们应到定点距离都等于定长。因为E、F、G、H是菱形各边的中点，根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长 证明：连结OE、OF、OG、OH ∵四边形ABCD为菱形 ∴AB＝BC＝CD＝DA，且BD⊥AC ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 ∴E、F、G、H四点在以O为圆心的圆上 点拨：本题为文字叙述题，所以应先写出已知和求证并画出图形；证点共圆，只须证这些点与定点的距离相等即可。
例6. 如图所示，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A. 解： 故选B 常见错误：误以为五边形内角和为360°，而错选A；或误以为五边形内角和为720°，而错选C。
例7. 如图所示，是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心。
点悟：若求出 作法：（1）在 （2）连结AC、BC。 （3）分别作AC、BC的垂直平分线a、b，a与b相交于点O。 则点O即为所求的圆心。 点拨：此题是已知三点作圆的运用，它是已知圆找圆心。
例8. 如图所示，在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O，证明BD和CE不可能互相平分。
点悟：结论带否定词“不”的问题适合于用反证法证明，我们不妨一试。 证明：假定BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形。 ∴BE∥CD，这与已知BE和CD相交于A相矛盾 ∴BD和CE不可能互相平分 点拨：应用反证法时，叙述要科学规范。
例9. 用反证法证明：三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。 证明：假设三角形的三个内角都小于60°，则这个三角形的内角和小于180°，这与三角形内角和定理矛盾。 所以，三角形中，至少有一个内角大于或等于60°。
例10. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，OC＝OD。 证明：四边形ABCD一定有外接圆。
点悟：如果能证明四边形的三条边的垂直平分线相交于一点就是了，由题设可以证明AB、CD有公共的垂直平分线，这样问题就不难解决了。 证明：∵∠AOB＝∠COD ∴等腰△AOB和等腰△COD的顶角相等 ∴它们的底角也相等 ∴∠CDO＝∠ABO AB∥CD，过O作OM⊥AB，则OM是AB的垂直平分线，也是CD的垂直平分线。 设DA的垂直平分线交OM于P，则P点到A、B、C、D的距离相等，即四边形ABCD有外接圆，其圆心是P点。
【模拟试题】（答题时间：45分钟） 1. AB是⊙O的弦，OQ⊥AB于Q，再以OQ为半径作同心圆，称作小⊙O，点P是AB上异于A、B、Q的任意一点，则点P的位置是（ ） A. 在大⊙O上 B. 在大⊙O的外部 C. 在小⊙O的内部 D. 在小⊙O外且在大⊙O内 2. 下列命题正确的是（ ） A. 经过点A且半径等于a的圆心O的轨迹，为以O为圆心，a为半径的圆 B. 如果一个图形上的每一点到一个角的两边距离都相等，那么这个图形一定是这个角的角平分线 C. 到直线AB的距离等于5cm的点的轨迹是平行于直线AB，且到AB的距离等于5cm的一条平行线 3. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 圆有且只有一个内接三角形 C. 三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 D. 三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点 4. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的外心不一定在三角形外部 B. 圆的两条非直径的弦不可能互相平分 C. 两个三角形可能有公共的外心 D. 任何梯形都没有外接圆 5. 下列命题中，错误的个数为（ ） （1）三角形只有一个外接圆； （2）钝角三角形的外心在三角形外部； （3）等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点； （4）直角三角形的外心是斜边的中点。 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 用反证法证明，“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在⊙O的外部”首先应假设（ ） A. C. 点P在⊙O外 D. 点P在⊙O上或点P在⊙O内 7. 在一个圆中任意引两条直径并顺次连结它们的四个端点组成一个四边形，则这四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
二. 填空题。 8. 已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，则DC＝_________。 9. 直角三角形外接圆的圆心在_________上，它的半径等于_________的一半。 10. P点到⊙O上的点的最小距离是6cm，最大距离是8cm，则⊙O的半径是_________。 11. P是⊙O内与O不重合的点，则在经过P点的所有弦中，最长的弦是_________。 12. 若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是_________梯形。 13. 用反证法证明“一个三角形中，不能有两个角是直角”时，第一个步骤是_________。
三. 解答题。 14. 已知△ABC中，∠C＝90°。求证：AB＞AC，AB＞BC。 15. 如图所示，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，并且E、F、G三点共线，求证：A、B、C、D四点共圆。
16. 如图所示，AC、BD是⊙O的两条直径，求证：四边形ABCD是矩形。
17. 如图所示，四边形ABCD的一组对角∠B、∠D都是直角，求证：A、B、C、D四点在同一圆上。
18. 已知点A的坐标是（0，-3），以C为圆心，5个单位长为半径画圆，求⊙C与坐标轴的交点的坐标并判断点P（-3，0）是否在⊙C上。
【试题答案】 一. 选择题。 1. D 2. D 3. D 4. D 5. A 6. D 7. C 二. 填空题。 8. 3cm 9. 斜边中点，斜边长 10. 1cm或7cm 11. 此圆的直径 12. 等腰 13. 假设一个三角形中有两个角是直角 三. 解答题。 14. 证明：作△ABC的外接圆⊙O，如图所示，根据直角三角形中斜边中线等于斜边一半知斜边AB的中点O，即为外接圆的圆心，连结OC，则
∵在△AOC中有 ∴AB＞AC 同理可证：AB＞BC 15. 假设A、B、C、D四点不共圆，则： ∵DE⊥BC，DF⊥AC ∴∠DEC＋∠DFC＝180° 故D、E、C、F四点共圆 同理，D、E、G、B四点共圆 ∴∠DCF＝∠DEF＝∠DBG 从而∠BDG＝∠CDF ∴∠GDF＝∠BDC 故∠GDF＋∠A＝∠BDC＋∠A≠180° ∵DG⊥AB，DF⊥AC ∴∠AGD＋∠DFA＝180° 故四边形AGDF的内角和＝∠GDF＋∠A＋∠AGD＋∠DFA≠360°，矛盾 ∴A、B、D、C四点共圆 16. 证明：∵OA＝OC，OB＝OD ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AC＝BD ∴平行四边形ABCD是矩形 17. 连结AC，取AC中点O，连结DO、BO 在Rt△ACD中，∵O为斜边AC中点 同理可证： ∴A、B、C、D四点在以O为圆心，AC为直径的圆上 注：目前，证四点共圆只有一种证法：那就是证明A、B、C、D四点到某一点的距离都相等，可猜想这一点就是AC的中点。 18. 交点坐标分别是（-4，0）、（0，-8）、（4，0）、（0，2），P点在⊙C内
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B. 
C. 
D. 
B. 
