直线形、三角形

 直线形、三角形

 

    ［知识归纳］

（一）相交线和平行线

  1. 直线、射线和线段

    点、直线是几何学的基本概念，不定义，线与线相交于点。

    直线的性质：直线的性质是用公理给出的，即经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称“两点确定一条直线”。由它可推出，两条直线相交，只有一个交点。

    在直线上某一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点。直线上任意两点和它们之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。

    把一条线段二等分的点叫做线段的中点。

    线段的性质：在所有联接两点的线中，线段最短。

 

  2. 角

    有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角还可这样定义，把一条射线OA，绕着它的端点O，从原来的位置OA旋转到另一个位置OB，这时OA和OB就生成了一个角，记作∠AOB，其中OA、OB分别叫做角的始边和终边，点O叫做角的顶点。

    角的度量：目前角的度量采用角度制，即把一个周角分成360等份，每一份叫做1度的角，记作1°，并且1°＝60′，1′＝60″。

    在这种度量下，1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°。

    角的分类：

    （1）锐角：小于直角的角叫做锐角。（注意：0°<锐角<90°）

    （2）直角：平角的一半叫做直角。

    （3）钝角：大于直角而小于平角的角叫做钝角。

    相互关联的角：

    （1）对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。

    （2）余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角。

    （3）补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角。

    （4）邻补角：有公共的顶点和一条公共边，且另外两边互为反向延长线的两个角叫做互为邻补角。

    相互关联的角的性质：

    （1）对顶角相等。

    （2）同角或等角的余角相等。

    （3）同角或等角的补角相等。

    角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。它是到角的两边距离相等的点的集合。即

    （1）角平分线上的任意一点，到这个角的两边距离相等；

    （2）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

 

  3. 两条直线垂直

    若两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。

    垂线的性质：

    （1）平面内，经过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。

    （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

    线段的垂直平分线：过线段的中点且与线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线，这是到线段的两个端点距离相等的点的集合。即

    （1）线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段的两个端点距离相等。

    （2）到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

 

  4. 平行线

    在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

    平行线的性质：

    （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

    （2）两直线平行，同位角相等。

    （3）两直线平行，内错角相等。

    （4）两直线平行，同旁内角互补。

    （5）夹在两条平行线间的平行线段相等。

    （6）平行线等分线段定理。

    （7）平行线分线段成比例定理等。

    平行线的判定：

    （1）根据平行线的定义判定。

    （2）同位角相等，两直线平行。

    （3）内错角相等，两直线平行。

    （4）同旁内角互补，两直线平行。

    （5）平行于同一条直线的两条直线互相平行。

    （6）平行线分线段成比例定理的逆定理。

 

  5. 同一平面内，两条直线的位置关系

    平行

    相交

 

  6. 距离

    两点间的距离：连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。

    点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

    如果点在直线上，则点到此直线的距离为零。

    两条平行线的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

 

  7. 基本作图

    （1）作一个角等于已知角；

    （2）作已知角的平分线；

    （3）经过一点作已知直线的垂线；

    （4）作已知线段的垂直平分线；

    （5）过直线外一点作它的平行线。

 

（二）三角形

  1. 三角形的分类

    （1）按边的相等关系分类如下：

   

    （2）按角的大小分类如下：

   

 

  2. 三角形的主要线段和特殊点

    （1）三角形的主要线段

    三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

    三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

    三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

    三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

    （2）三角形的特殊点

    三角形的外心：三角形各边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心（即三角形外接圆的圆心）。外心到三角形各顶点的距离相等。

    三角形的内心：三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心（即三角形内切圆的圆心）。内心到三角形各边的距离相等。

    ※三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。它到顶点的距离等于到对边中点的距离的两倍。因此，把重心与三角形的顶点分别连结，可将原三角形分割成三个面积相等的三角形。

    ※三角形的垂心：三角形三边上的高所在直线相交于一点，这点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；钝角三角形的垂心在三角形的外部；直角三角形的垂心与直角顶点重合。想一想，三角形的垂心有什么性质？

 

  3. 关于三角形边、角的关系

    关于边的关系：

    （1）三角形两边之和大于第三边；

    （2）三角形两边之差小于第三边。

    关于角的关系：

    （1）三角形三个内角的和等于180°；

    （2）三角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

    （3）三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；

    （4）三角形的外角和等于360°。

    关于边、角的关系：

    在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边。还可以证明：较长的边所对的角也较大；较大的角所对的边也较长。

 

  4. 全等三角形

    能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

    全等三角形的性质：

    （1）全等三角形的对应元素（边、角或线段）对应相等；

    （2）如果两个三角形都与同一个三角形全等，那么这两个三角形全等；

    全等三角形的判定：

    两个三角形具备以下条件之一的就全等：

    （1）三边对应相等，即（S、S、S）

    （2）两边及其夹角对应相等，即（S、A、S）

    （3）两角及其夹边对应相等，即（A、S、A）

    （4）两角和其中一角的对边对应相等，即（A、A、S）

    对于两个直角三角形全等，还可以用斜边和一条直角边对应相等（即HL）来判定。

 

  5. 等腰三角形和等边三角形

    等腰三角形的性质：

    （1）等腰三角形的两个底角相等；

    （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；

    （3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线。

    等腰三角形的判定：

    （1）根据等腰三角形的定义判定；

    （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质：

    （1）具有等腰三角形的性质；

    （2）等边三角形的每一角都是60°，各边相等；

    （3）等边三角形的外心、内心、垂心、重心互相重合成一点，称为等边三角形的中心。

    若等边三角形的边长为a，则其外接圆半径，内切圆半径，一边上的高，其面积为。

    等边三角形的判定：

    （1）根据等边三角形的定义判定；

    （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

    （3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。

 

  6. 直角三角形

    直角三角形的性质：

    （1）直角三角形中，两个锐角互余；

    （2）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；

    （3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边大于直角边；

    ※（4）射影定理：在直角三角形ABC中，若于D，则，，；（注：用时给予必要的推理）

    （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

    一般地，利用税角三角函数可进行边、角之间的变换。

    直角三角形的判定：

    （1）根据直角三角形的定义判定；

    （2）勾股定理的逆定理：如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

    （3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

 

  7. 轴对称和轴对称图形

    （1）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。两个图形关于直线对称也称轴对称。

    如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

    轴对称的性质：

    （1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；

    （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；

    （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

    由轴对称的性质可以认识轴对称图形的性质。

 

  8. 几何作图

    （1）根据已知条件求作三角形；

    （2）作一图形关于一直线的对称图形。

 

【典型例题】

  例1. 如图，观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题。

    （1）当三角形中的横截线有n条时，写出图中三角形的个数y与n之间的关系式；

    （2）如果图中三角形个数是102个，则图中应有多少条横截线？

    分析：（1）读者应重点思考的是横截线条数n与图中三角形的个数y之间是如何对应的。

    （2）只要令，求出n的值即可。

    说明：根据题目要求，不重不漏地把对象的个数算出来，是应掌握的有关“计数”问题的基本技能，关键是弄清图形中量与量之间的对应关系。

 

  例2. 已知：△ABC中，a＝5，c＝7

    （1）求b边长的取值范围；

    （2）若△ABC是锐角三角形，且b边长也为整数，求b边的长。

    解：（1）由三角形边的性质：有，即

    （2）是锐角三角形，且

    ，即

    而b为整数，5、6、7、8

    说明：此题的解法可用如图直观加以说明。

    在以B点为圆心的半圆中，半径为7，BC＝5。。

    当A点在上时，的是钝角；当A点在上时，的是钝角；只有当A点在上时，是锐角三角形。

 

  例3. 阅读下题及证明过程：

    已知：如图，D、E分别是BC、AD上一点，，，求证：

    证明：在和中

   

    ……第一步

    ……第二步

    问上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。

    分析与解答：上面的证明过程不正确。错在第一步（为什么？）。

    正确的证明思路是欲证，只要证AB＝AC，亦证。具体的证明过程请自己完成。

    说明：本例题属于阅读理解题，它对同学数学基础知识的理解与掌握的程度进行了考查。在纠正错误的同时，给出正确的解答，体现了数学的综合素质。

 

  例4. 在中，，，AB的垂直平分线ED交AC于D，求证

    分析：在中，因为直线ED垂直平分AB，若连结BD，则AD＝BD。这样欲证，只要证。

    在中，欲证，只要设法依已知条件推出，即可。

    具体的证明过程请自己完成。

 

  例5. 如图，已知中，BE、CF是高，BP＝AC，CQ＝AB，求证：

    （1）AP＝AQ；（2）

    分析：（1）欲证AP＝AQ，只要证明，而由已知，证明的关键是证明。它可由BE、CF是的高推出、都与互余而得到。

    （2）证，一般应该利用已知中给的垂直条件，再根据两条直线垂直的定义进行证明。

    因为于F，所以，而，所以，从而可推出。

 

  例6. 如图，已知：中，，M是AB的中点，AM＝AN，MN//AC，求证：MN＝AC

    证明：连结CM

    在中，

   

   

    又

   

   

   

    说明：本题还可通过证明AN//CM及AN＝CM推出四边形ACMN是平行四边形，从而得到AC＝NM。另外，延长NA、BC，设交点为D，试确定的形状。

    有关全等三角形的证明是复习的重点，根据三角形全等的判定公理及定理可知，需三个条件（其中至少有一个边的条件）证全等。

    证明三角形全等的思路、方法如下：

    （1）根据问题的需要，找出图中要证的全等三角形。

    若证明全等的三个条件具备，直接证明之；若条件不足，看能否利用已知及其它相关图形的性质，挖掘出证全等的三个条件。

    （2）当图中没有适合的全等三角形时，根据问题的需要，可以某个三角形或图形为基础，添加适当的辅助线，构造所需的全等三角形。为此，在复习中应总结、归纳常用辅助线的作法。

 

  例7. 已知：如图，中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，于G点，求证：

    （1）G是CE的中点；

    （2）

    分析与解答：连结DE

    （1）因为于G，要证G是CE的中点，只要证。而，问题又转化为证。这可由DE是的斜边AB上的中线推出。

    （2）由（1）的证明有EB＝ED，因此，这样欲证，只要证。而是等腰三角形DCE的外角，显然有。

 

  例8. 用两个全等的等边三角形和拼成菱形ABCD。把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。

    （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图1），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

    （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

图1                              图2

    解：（1）BE＝CF

    证明：在和中

   

   

   

   

    （2）BE＝CF仍然成立

    根据三角形全等的判定公理，同样可以证明和全等，BE和CF是它们的对应边，所以BE＝CF仍然成立。

 

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

  1. 填空题

    （1）中，于D，且，那么的度数是_____________度。

    （2）若一个三角形的三个内角的比为2：3：4，则最大的角等于__________度。

    （3）一个等腰三角形的周长是24cm，若其中的一边长为6cm，则其它两边长分别为__________；若其中一边长为10cm，则其它两边长分别为_____________。

    （4）在下图中，和是分别沿着AB、AC边翻折形成的。若，则的度数为____________。

    （5）如图，在中，，，，将绕点B旋转至的位置，且使点A、B、C’三点落在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度为___________cm。

    （6）如图，在中，，CM是斜边AB的中线，将沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么等于______度。

    （7）在中，若，b＝4，c＝5，则的面积是_____________。

    （8）如图，CB、CD分别是钝角和锐角的中线，且，给出下列结论：①AE＝2AC；②CE＝2CD；③；④CB平分。请写出正确结论的序号__________（注：将你认为正确结论的序号都填上）

  2. 如图，梯形ABCD，AB//DC，AD＝DC＝CB，AD、BC的延长线相交于G，于E，于F

    （1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）

    （2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由。

  3. 如图，已知中，，，E是AB的中点，AD垂直的平分线于点D，求ED的长。

  4. 在中，，，AC边上的高BD＝8，求AC边的长。

  5. 如图，在中，，延长BA到点D，使，点E、F分别为边BC、AC中点

    （1）求证：DF＝BE

    （2）过点A作AG//BC，交DF于点G，求证：AG＝DG

  6. 已知：如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF。

  7. 如图，在中，已知AB＝AC，，D是BC上一点，，，F是DE的中点，求证：

    （1）

    （2）

【试题答案】

  1. （1）；（2）80；（3）9cm，9cm，10cm，4cm或7cm，7cm

    （4）；（5）；（6）；（7）5；（8）①②④

  2. CE＝CF，AE＝AF，AG＝BG，DG＝CG

  3. 延长AD与BC交于M，证，推出，则，由E为AB中点，D为AM中点知ED是的中位线，

  4. 9或21

  5. 证

  6. 利用与均为的余角，证得，又由，AC＝BC，证得推出CD＝BD＝BF

    为等腰三角形，在中，

    由AC//BF知，则

    BA是的顶角平分线，因此垂直平分DF

  7. （1）证，条件AB＝AC，，BD＝CE

    （2）由（1）中全等知AD＝AE，为等腰三角形，由F为DE中点，则AF是底边中线，所以是底边上高线，因此。