易学数论

易学数论

1、              大衍之数五十其用四十九，分而为二以象两挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰，五岁再闰，故再扐而后挂。天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十，天数五地数五，五位相得而各有所合，天数二十五地数三十，凡天地之数五十有五，此之所以成变化而行鬼神也。乾之策216，坤之策144，凡360当期之日，二篇之策11520，当万物之数也。

 

2、              天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。

 

 

 

 

 

附一：易经数理

 

   英国思想家罗素曾确定哲学（包括逻辑学）最根本的目标是采用最简单的表达方式，把人类知识上的虚荣和矫饰减少到最低限度，再建立逻辑与数学的联系，然后是分析假设从语言可以推论它所描述的世界。他赞叹道：“数学也是一种美，她虽然没有绘画或音乐的华丽装饰，但她可纯净到崇高的地步，能够达到只有伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。”
　　数学研究宇宙的对称美，训练我们的思维的缜密性。中国的《易经》是最早系统研究数理的不朽著作。数字是一种自然符号系统，传载着宇宙的全息信息。她用最简单的数字符号系统就概括了宇宙的复杂性，使人类彻底更新了自己的生存手段与生存能力。
　　美籍华裔数学家丘成桐就是运用微分几何学的方法破解了署名的“卡拉比猜想”，证明了著名数学家卡拉比提出的高维空间曲率的一个猜想，而获得1993年诺贝尔数学奖。包括多维次空间存在的证明和多变函数与广义相对论方面的两个猜想的破解，都被丘成桐用微分几何学彻底解决了，这就是数学的伟大。
　　中国的传统数理和科技研究几乎一直由道家担负。道家的学说，从内容到形式无不体现着对数理的认识，炼丹术，五行说，天文，堪舆，医卜星相，不一而足。
　　自然科学偏重研究物质的“相”。例如现代金属材料科学中的金相学就是一个典型。相是看得见、摸得着的物质的结构和表征。而支持着这个相的是什么呢？是什么让我们人类有如此的生命力呢？答案是：数的变化，是数在支配着相。再深入下去，又是谁在制造和控制数呢？是理。理是某种规律性的东西，是某种无形的力量，是宇宙本体的表现，也就是道。《易经》建立的方法论模型就是理数相三层模式，用计算机为例证来说明最好理解。
　　文字处理、图象、音乐这些功能都是计算机具体的相用，而支持计算机这些相用的又是什么呢？还是程序语言里面编排的数字程序，是二进制数字的加加减减。而操纵这些数字加减的是理。软件工程师按照计算机的理路设计某种程序，程序员则根据设计将数字固化到软件中去，变成计算机的操作指令系统，这是一个由理到数再到相的完整过程。
　　《易经》中提出了多种不同的数理逻辑系统，其中当然包括大家熟知的十进制和二进制。研究宇宙运动的规律要用二进制，就是阴阳之数的数理逻辑系统。《易经》中卦爻卦象的演算所用的主要就是二进制系统，这是宇宙的奥秘。在西方，莱布尼兹是微积分和二进制数学的创始人，也是计算机科学的先驱。研究莱布尼兹的专家、英国人李约瑟博士根据大量史料追溯现代一系列的有影响和西方科学家的欧洲思想渊源，都通向莱布尼兹。莱布尼兹的思想又源于何处？李约瑟的深入研究结果表明：莱布尼兹自20岁起直至逝世为止，都是中国学术思想的爱好者与研究者，特别对《易经》图象数理情有独钟。
　　莱布尼兹有一个好朋友鲍威特，曾在中国耶酥会传教，发现了《易经》并成为研究《易经》的专家。他把《易经》介绍给正在研究二进制系统的莱布尼兹，这一下一拍即合。1701年，鲍威特又将自己珍藏的两个“易图”赠送给了莱布尼兹，莱布尼兹旋即从六十四挂图中惊奇的发现了63到0的二进制数学。1703年，莱布尼兹发表“谈二进制算术”的论文，正式确认《易经》卦爻与二进制数学的同一性。此文后收于英国皇家科学院论文集中。
　　我们知道，所谓二进制的数理结构中，只有1和0两个数，0是个圆圈没有数，却代表了无限的数和无量的数，宇宙中到底有多少个数呢？只有一个数，就是1，永远都是1，1加1就是2，加0就是10，过了10又是1，过了100又是1，没有穷尽。
　　道家学说认为：宇宙的开端就是“道生一”，道是无极，一是太极。宇宙大爆炸一开始，就是太极生两仪（阴阳），二进制由是而生。二进制的原理就是“相对论”，有天就有地，有阳就有阴，有南就有北。此即老子所说的天地相生、长短相形、高下相倾、声音相合，我们这个世界就是相对的世界。在相对的世界里要找到绝对的东西是不可能的，除非你能超越相对、超越这个对立的物质世界。那是另外一个目前难以想象的话题。
　　《易经》是研究天道的学问。其道贯穿于后世一切学问，包括自然科学与社会科学。易学中的说理工具就是数理逻辑体系，换言之，《易经》就是依靠数理以及数的变化来认知世界、破解难题和预测未来。先后天之卦象都是一数理变化中产生的，理生出数，再由数生出相。自然界的万物都是具体的相（物相或事相），万物均生乎数。
　　文字处理、声音、图像等都是具体的电脑相用，而支持电脑产生相用的正是数，是一系列数字编排的控制程序。没有数也就没有相用。而数受控于理，即宇宙中某种规律性的东西。我们电脑的操作系统就是按照某种即定程序设计的。一种计算机程序语言，有它自己的理，理生数，数生相。天地之道亦然，即为自然之理，通过天地之数（程序系统）控制自然界一切物相。《易经》研究天地之数，即通过天地间既定的符号系统，从而解读出其中表达的程序与信息，易学研究的根本目的就在于此。
　　《易经》之数来自何方？来自河图、洛书。河图、洛书在中国传统学术思想中属于神秘文化，来源不详，奇奥难懂，据说出现于伏義氏时代。伏義氏姓风，号太昊，曾见黄河一马头龙身之物，卷毛，有斑点与花纹。伏義氏顿受启发，以结绳记事的长短线条搭配组合，画出八卦符号，又据其花纹发明渔网，人类文明自此进入到渔猎时代。后人就神化为黄河出龙马，背上有图案，其名为“河图”。
　　大禹治水中，大为方案设计问题苦恼，忽见洛水之中一乌龟，背纹圈圈点点，大禹茅塞顿开，既获治水大法，治理中国水患。神龟背纹图案即为洛书，这在中国历史上久传不衰。
　　河图、洛书应是古老的天文地理图，即以简单的几组数来揭示其深奥之理。二者之区别在于：河图所示为先天之数，洛书所示为后天之数。《易经﹒系传》载：“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十。天数五，地数五，五位相得而各有合。天数二十五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。”
　　这是河图之数，其中单数为阳、为天，有五个（一三五七九），其合数（和）是二十五；偶数为阴、为地，也有五个（二四六八十），其合数（和）是三十。这就是天数五、地数五，天地之数五十有五。五组数皆由一阴一阳组成，分列五方，一生一成，奇偶数之差皆为五（6-1；7-2；8-3；9-4；10-5）。为五即河图的中心五点，中而不偏，动而能和，为天地之中心。五组数就生出无行（水火木金土），每一行又分阴阳。从一到十，是十进制的根本，也是天地宇宙生成的本数。水火木金土五行的出现就是：
　　“天一生水，地六成之；
　　地二生火，天七成之；
　　天三生木，地八成之；
　　地四生金，天九成之；
　　天五生土，地十成之。”
　　从方位上看：一六在北，二七居南，三八居东，四九居西，五十居中。一为元精属水，为壬水；三为元性属木，为甲木；五为元气属土，为戊土；七为元神属火，为丙火；九为元精属金，为庚金。
　　是为天数所生阳五行，地数所生阴五行为之相对，二四六八十偶数而已，这就与命运讲座中的阴五行与阳五行联系起来了。河图既为先天之数，我们后天的一切数理，包括《易经》之数均源于河图，其为数的加减之元。中国古代的算具有九种，都是根据河图之数理设计而成。珠算即为其中之一，上档一珠代表五，下档四珠各代表一。加法是满五加，即一下五去四；破五进十即一去九进一；减法是破五即一上四去五，退十减要补五即一退一还九。这看来复杂，其是简单至极，均由生与成二个数的加减变化而来。
　　由此可知，河图是先天，是天道之理，以天地化合生成五行分在四方。
　　洛书则以五行生克制化而变为九宫，后天的一切变化都是由此而生，故洛书是后天，是地道之理。所谓九宫就是四方，四角加中央，一共九方位。具体到数就是“戴九履一，左三右七，二四与肩，六八为足，五在中央”。
　　洛书以五居于中，取一二三四六七八九居于四周。其对角线三数之和与纵横线三数之和均为十五。其中：
　　一六生成水居于北与西北，
　　二七生成火居于西和西南，
　　三八生成木居于东和东北，
　　四九生成金居于南和东南，
　　五居于中土统乎四方。
　　从对恃而言：
　　一六之水生于四九之金，
　　三八之木生于二九之火。
　　这表明阳生于北，长于东，盛于南，消于西；阴生于西南，长于东南，极于东北，方于西北。
　　《易经》的八卦方位图，与现代地图方位正好相反，即上南下北，左东右西。东方甲乙寅卯木，应正月、二月，居震宫。南方甲丁巳午火，应四月、五月，居离宫。西方庚辛申酉金，应七月、八月，居兑宫。北方壬癸亥子水，应十月、十一月，居坎宫。中央戊己辰戌丑未土，应三月、六月、九月、十二月，居中宫。
　　中国属土，居全球之中。中岳嵩山为中国之中。嵩山之中在少林，少林之中在大雄宝殿释迦牟尼佛的莲花宝座之下，达摩老祖所以要在嵩山面壁九年绝非偶然。
　　帝都北京的中心在紫禁城，紫禁城的中心在太和殿，太和殿的中心在皇帝的蟠龙宝座之下。京城呈对称格局，四上四偶方位有庙堂八座，东南西北有四坛（天地日月），再加社稷坛。这个五坛八庙的格局，就是明成祖时姚广孝依《易经》之理设计的。
　　《尚书》：“人心惟危，道心惟危，惟精惟一，允执厥中。”是为教育之中心，为政之中心，中国文化之中心。允即诚信、公平，把握这两点不动摇不放弃就是执中，就能天下太平。水平则不流，物平则不动，不动即正，就定了。
　　以日照强度（阳）来看：
　　一为冬至，三为春分，九为夏至，七为秋分。
　　以月球引力（阴）来看：
　　二为朔，四为上弦，八为满月，六为下弦。
　　河洛之数理自古运用于天文、历法、算术、堪舆（地质）等各传统科技领域，由此形成了道教的数术之学，从丹道兵法、医卜星相，直至棋牌娱乐无所不及。
　　综上所述，我们可见《易经》数理的无穷魅力与应用价值于一斑。但这仅为《周易》，即请康熙年间御篡、内阁大学士李光地总裁、四十九名翰林进士参与撰注的《周易折中》所述部分。而夏之连山易、商之归藏易，远未可言及。
　　《易经》是关于科学的哲学，她训练出来的首先是数学家的头脑，教给我们的是系统论的思想，看问题要敏锐，细致，要做个有心人；观察问题要有逻辑性，要全面；分析问题要有条理，有层次；处理问题要果决；因为一切都在变，解决问题的条件转瞬即逝，必须当断立断；也要注意给自己留退路，因为变量太多，环境随时都在变，只要有一个环节疏忽了，就可能造成被动。
　　龙师伏羲氏观龙马之图始作八卦，一横为阳数之始，为法太极之道立于一；二横为阴数之始，即《易经》的九六之数，阴阳交变而有万物。天地宇宙都是相对而生，互存共荣。在天为阴与阳，在地为柔与刚，在人为女与男。
　　《易经》洁净精微，其中八卦的推演，其实就是解决一系列繁杂问题的方程式和方案而已，并不神秘，而这方程式和方案中时时处处凸显出洁净的一种数学美。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

附二：也谈大衍数理

 

也谈大衍之数

作者：彭业生　　校对：邓兴宁

前言

　　大衍之数一直被人们称之是迷，单单“大衍之数五十其用四十九”一句，有的用五十去太极，有的用天地数减六爻，有的勾股弦，有的干脆说“只用四十九”。各有解法不同，没准绳。在此本人只是也谈大衍之数。

　　一、周易中大衍之数原文

　　大衍之数五十其用四十九，分而为二以象两挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于扐以象闰，五岁再闰，故再扐而后挂。天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十，天数五地数五，五位相得而各有所合，天数二十五地数三十，凡天地之数五十有五，此之所以成变化而行鬼神也。乾之策216，坤之策144，凡360当期之日，二篇之策11520，当万物之数也。是故四营而成易十有八变而成卦，八卦而小成，引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。……

　　二、七数

　　我们如果用最先进的仪器对物质进行可分性的观测，物质的最后必然出现一个点（今是想象）这个点不能再分，如果再分则是无，无即是光也。那么就从这一点称为光点开始，可想它的任何值都是1，任何值都是1的物体必定是一个正园球体，那么我们就从光点构成物质开始，我们用一些正园球珠来做个实验，用周易中“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”的变化方式进行组合，见图：

图1

　　从实验的主体图可以见到，第一个园球它的外表能与十二个等园球体相连着，共有十三个等园球中，任一个等园球自己要具有十三个等园单位的独立体，与原独立体相互对立，形成八卦体，只需增加七个等园球就可以了。
可见七数在物质结构中有着轻重的作用。

　　三、七数与大衍数的关系

已知： ＝0.142857142857……
　　　 =0.285714285714……
　　　 =0.428571428571……
　　　 =0.571428571428……
　　　 =0.714258714258……
　　　 =0.857142857142……
　　大衍之数五十，其用四十九：
　　先看 的竖式运算，当商是5位数时，余数是50，当商是6位数时其所用之数是49，余数是1，尽管怎么样除下去都是一个个142857的数团，将这个数团按顺序变换，可得：

图2

　　分而为二以象两：
　　将0.142857乘之以二，0.142857×2=0.285714，这个数正是 ＝0.285714之数，可见象两即是自然数之2。
　　挂一以象三：
　　将0.142857前面的1挂回数团的后面成为0.428571，这个数正是 =0.428571的数，所以象三即是自然数之3。
　　揲之以四以象象四时：
　　将0.142857乘之以四或叠加四次都得0.571428，这个数正是＝0.571824的数。所以象四时，即是自然数的4。
　　归奇于扐以象闰：
　　将四时之数0.571824加上一个0.142857，即：0.571824＋0.142857=0.714285，这个数正是＝0.714285的数，象闰即是自然数之5。
　　五岁再闰：
　　将象闰之数即五岁再之数0.714285，再加上一个0.142857，即0.714285+0.142857=0.857142,这个数正是＝0.857142，所以再闰之数即是自然数之6。
　　再扐而后挂：

　　 ＝1　　　 ＝1.142857 　　 =1.285714 　　 =1.428571

　　凡天地之数五十有五：
　　天数（自然数的奇数）1+3+5+7+9=25
　　地数（自然数的偶数）2+4+6+8+10=30
　　天地数之和25+30=55

　　 四、成变化而行鬼神

　　以天地之数55来衡量一个八卦自然场，那么这个场的所有数都是55，如果以64卦384爻来分配天地之数，即55÷384，等于0.142857，再余下一个0.142857，实际是55÷385=0.142857为完整之数。这样以384爻来衡量天地数55，多了一个0.142857，怎么办？在周易中乾和坤这两卦分别加上用九用六各一爻，其实二者合起来才一爻，这一爻可以说是这个场的核心所在。如此算来可以肯定了64卦384爻对比天地之数55的平均爻值是0.142857，之所以能成变化而行鬼神，也就是确定了每爻的平均爻值。可想而知，对任何事物的判断和权衡，没有一个标准的数值是无法进行的，所以有了数值，各卦爻的吉凶悔亡吝咎等现象的判断就有了依据。也就是是鬼是神由此而可分辨出来，故0.142857是大衍之数之始数。

　　五、用六用九

我们知道八卦到64卦的卦象（即符号）是没有任何数表示的，如果要确定64卦这个自然场任一方面的值，就必须配之以数。
洛书数阵是天地数最完整无缺的一个数阵，将它配上八卦，便 是八卦数阵。见图

将上图数阵分成阴阳两边，即1、6、7、2为坤阴一边，8、3、4、9为乾阳一边，各自相加：
阴1＋6＋7＋2＝16
阳8＋3＋4＋9＝24
这样看来16对24，两边很不平衡，但这个阵是实实在在的平衡统一的自然场。

图3

　　如果：16÷6＝2.6666……
　　　　　24÷9＝2.6666……
　　所以6和9是这个场阴阳各自的平衡轴，因此，周易中以阴爻用6，阳爻用九来表达各卦中阴阳爻的一种方式。

　　六、六爻

　　64卦是一个园被六次等分出现的64个等份，用符号表示64卦每卦是六画，即六爻，亦是周易64卦的范围是在一个园被六次等分之内，三次等分的八卦符号已经重复出现，三画卦亦被称为八经卦或父母卦。如果再将一个园等分下去，出现的父母卦将不再是三画卦，到时卦的爻画亦不止六爻，因推算范围而定，如“焦氏易林”以十二爻4096卦论。西汉杨雄以四爻分中、周、养论。但一个正园的半径是该园内切线的六份之一，所以六爻是可以表示一个园内各等份的关系，用引而伸之，触类而长之就可以了。

　　七、乾之策216，坤之策144，凡360，当期之日。二篇之策

　　11520
　　以阴用6，阳用9，一个园的三次等分的八卦，所出现的象数结构是（下起初爻）
　　－27 - -18 － 27 - -18 － 27 - -18 － 27 - -18
　　－18 － 18 - -12 - -12 － 18 － 18 - -12 - -12
　　－９ － ９ － ９　－ ９ - - 6 - - 6 - - 6 - - 6
　　 乾　 　兑　　离　　　震　　巽　 　坎　　艮　　坤
　　以上八卦的阴阳爻各自总数是：
　　乾阳　9+18+27+9+18+9+27+9+18+27+18+27= 216
　　坤阴　18+12+12+18+6+6+18+6+12+6+12+18= 144
　　所以用八卦作为父母卦，以用六用九方式，乾是216，坤是144。以360为一个完整的统一场，64卦的阴阳二篇就有32个场，这样32×360=11520
　　因此64卦的统一场就有11520策，是万物之数也。
　　依理而推：
　　天地数55÷385=0.142857（实384爻，多一爻以用六用九说明之）
　　64卦384爻的实际值：384×0.142857=54.857142
　　如果54.857142÷11520=0.0047619
　　总之，在天地数55的范围内，大衍数可推出384爻的平均爻值是0.142857，11520策的平均策值是0.0047619。

　　八、大衍数应用

　　周易中卦的爻用数的表示阳爻用９，阴爻用６，自下而表示的。如 　　

乾 　　上九 9×6 = 54 　　九五 9×5 = 45 　　九四 9×4 = 36 　　九三 9×3 = 27 　　九二 9×2 = 18 　　初九 9×1 =　9	坤 　　上六 6×6 = 36 　　六五 6×5 = 30 　　六四 6×4 = 24 　　六三 6×3 = 18 　　六二 6×2 = 12 　　初六 6×1 =　6
189	126

　　
　　以阴爻用6，阳爻用9的计算方法，可得乾189，坤126，二者相加为315。以360为一个完整的统一场，64卦可有32个场，对立两卦必须是360，才能到达11520这个万物之数。乾189对比216差27，坤126对比144差18，为了避免这种误差，则应用到大衍之数，如：
　　189×0.142857=26.999973
　　126×0.142857=17.999982
　　因为在推算大衍数时，取值是0.142857，其小数点后六位数之后的尾数舍去不用，所以189×0.142857的实际值是27，126×0.142857的实际值是18，这样再加上原来的基数，乾189＋27=216，坤126+18=144，如此办法，它的实际值就可以正确地表示出来了。实质上大衍之数是用六用九计算法的一种补充数。如：

乾 上九 54+54×0.142857　 九五 45+45×0.142857 　 九四 36+36×0.142857　 九三 27+27×0.142857　 九二 18+18×0.142857　 初九 　9+9×0.142857	坤 上六 36+36×0.142857 六五 30+30×0.142857 六四 24+24×0.142857 六三 18+18×0.142857 六二 12+12×0.142857 初六 　6+6×0.142857
189+27 = 216	126+18 = 144

　　以上乾坤　两卦的实际值是乾216，坤144，但在数的运算中所得的数值，并不表达出卦实际值，大衍数的最小值亦不能显示，如：

乾 坤 上九 ＝61.714278 九五 ＝51.428565 九四 ＝41.142852 九三 ＝30.857139 九二 ＝20.571426 初九 ＝10.285713	乾 坤 上六 ＝41.142852 六五 ＝34.285710 六四 ＝ 27.428568 六三 ＝20.571426 六二 ＝13.714284 初六 ＝6.857142
215.999973	143.999982

　　 上式的数算值与实际值对比，乾差：0.000027，坤差：0.000018，这种与实际误差的原因上已说明，为了使这种误差降到最小最小，周易大衍数中又增加了几项：分而为二以象两 =0.285714，挂一以象三 =0.428571，揲之以四以象四时 =0.571428，归奇于扐以象闰， =0.714285，五岁再闰， =0.857142，再看：

乾 上九 九五 九四 九三 九二 初九	数算值 61.714278 51.428565 41.142852 30.857139 20.571426 10.285713	大衍值 61.714285 51.428571 41.142857 30.857142 20.571428 10.285714		坤 上六 六五 六四 六三 六二 初六	数算值 41.142852 34.285710 27.428568 20.571426 13.714284 6.857142	大衍值 41.142857 34.285714 27.428571 20.571428 13.714285 6.857142
	215.999973	215.999997			143.999982	143.999997

　　从上两例看出，数算值小数点后四位数象那一项大衍数的头四位数，就可直接写上那一项大衍数的数团，这样就可以使数算值与实际值的误差大大减小，这就是大衍数的精华所在，是一种智能现象。
　　下面是64卦384爻各卦爻的实际值，例：

夬卦 上六 41.142857 九五 51.428571 九四 41.142857 九三 30.857142 九二 20.571428 初九 10.285714	剥卦 上九 61.714285 六五 34.285714 六四 27.428571 六三 20.571428 六二 13.714285 初六 6.857142
195.428571	164.571428

　　对立两卦相加：
　　195.428571＋164.571428＝359.999999

大有卦 上九 61.714285 六五 34.285714 九四 41.142857 九三 30.857142 九二 20.571428 初九 10.285714	比卦 上六 41.142857 九五 51.428571 六四 27.428571 六三 20.571428 六二 13.714285 初六 6.857142
198.857142	161.142857

　　对立两卦相加：
　　198.857142＋161.142857＝359.999999
　　依理而推，64卦384爻，各卦　爻的值就可以计算出来了。推导一个园四正十字线每条线两边的差值相等地无限小，就应用了大衍之数。