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1.（2008?宁德）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．  
分析：（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．
（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD． （3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE． 解答：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF． ∴CE=CF． （2）解：GE=BE+GD成立． ∵△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF． ∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD． 即∠ECF=∠BCD=90°． 又∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°． ∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG．  ∴EG=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD． （3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∠A=∠B=90°， 又∠CGA=90°，AB=BC， ∴四边形ABCG为正方形． ∴AG=BC=12． 已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG， 设DE=x，则DG=x-4， ∴AD=AG-DG=16-x，AE=AB-BE=12-4=8． 在Rt△AED中 ∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82 解得：x=10． ∴DE=10． 2.在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC＞AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
（1）求四边形ABPQ为矩形时t的值； （2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围； （3）在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由． 
分析：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求出HC，根据矩形的性质得出12-2t=3t，求出即可；
（2）过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，求出PG，根据BP+PG+GH+HC=BC得出方程求出即可； （3）有两种情况：①由（2）可以得出3t+6+2t+6=18，求出即可；②四边形PCDQ是平行四边形，根据BP+PC=BC，代入求出即可． 解答：解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
由题意可知：AB=DH=8，AD=BH，DC=10， ∴HC2= DC2-DH2 HC=6 ∴AD=BH=BC-CH， ∵BC=18， ∴AD=BH=12， 若四边形ABPQ是矩形，则AQ=BP， ∵AQ=12-2t，BP=3t， ∴12-2t=3t ∴t=12/5（秒）， 答：四边形ABPQ为矩形时t的值是12/5秒．  （2）由（1）得CH=6， 如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G， 同理：PG=6， 易知：QD=GH=2t， 又BP+PG+GH+HC=BC， ∴3t+6+2t+6=k， ∴t=(k-12)/5， ∴k的取值范围为：k＞12cm， 答t与k的函数关系式是t=(k-12)/5，k的取值范围是k＞12cm． （3）假设存在时间t使PQ=10，有两种情况： ①如图2：由（2）可知：3t+6+2t+6=18， ∴t=6/5， ②如图3：四边形PCDQ是平行四边形， ∴QD=PC=2t， 又BP=3t，BP+PC=BC， ∴3t+2t=18， ∴t=18/5（秒）， 综上所述，存在时间t且t=6/5秒或t=18/5秒时P、Q两点之间的距离为10cm， 答：在移动的过程中，存在t使P、Q两点的距离为10cm，t的值是6/5秒或18/5秒． |
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