2008年第9期17
第49届IMO试题解答
1．已知日是锐角△ABC的垂心，以边
BC的中点为圆心、过点Ⅳ的圆与直线BC交
于A。、A：两点；以边cA的中点为圆心、过点
日的圆与直线必交于B。、日2两点；以边彻
的中点为圆心、过点日的圆与直线AB交于
Cl、C2两点．证明：A1、A2、Bl、B2、Cl、C2六
点共圆．(俄罗斯提供)
2．(1)设实数算、Y、彳都不等于1，满足
xyz=1．求证：．
，2．，2，2南+南+石希引；
(2)证明：存在无穷多组三元有理数组
(算，Y，z)，戈、Y、g都不等于1，且1xyz=1，使得
上述不等式等号成立．(奥地利提供)
3．证明：存在无穷多个正整数n，使得
n2+l有一个大于2凡+√2凡的质因子．
(立陶宛提供)
4．求所有的函数
厂：(0，+o。)+(0，+∞)，
满足对所有的正实数W、z、Y、Z，妣=yz，有
!』!丝22：±!』!兰22：一竺二±￡
“Y2)+以石2)一Y2+z2‘
(韩国提供)
5．设n和k是正整数，k≥n，且k—n是
一个偶数．2n盏灯依次编号为1，2，…，2n，
每一盏灯可以“开”和“关”．开始时，所有的灯
都是关的．对这些灯可进行操作：每一次操作
只改变其中一盏灯的开关状态(即开变成关，
关变成开)．考虑长度为k的操作序列，序列
中的第i项就是第i次操作时被改变开关状
态的那盏灯的编号．
设J7、r是k次操作后使得灯l，2，…，n是
开的且灯n+1，n+2，…，2，l是关的状态的
所有不同的操作序列的个数；
设肘是k次操作后使得灯l，2，…，n是
开的且灯n+l，n+2，…，2n是关的，但是灯
n+1，rt+2，…，2n始终没有被开过的所有
不同的操作序列的个数．
求比值若．
一
(法国提供)
6．在凸四边形ABCD中，BA≠BC．圆0．1。
和叫：分别是△ABC和△ADC的内切圆．假
设存在一个圆cc，与射线尉相切(切点不在
线段嬲上)，与射线BC相切(切点不在线段
BC上)，且与直线AD和CD都相切．证明：
圆∞。、092的两条外公切线的交点在圆叫上．
(俄罗斯提供)
参考答案
1．如图l，口。、co分别是边c4、他的中
点．设以日。为圆心、过点日的圆与以C。为
圆心、过点Ⅳ的圆的另一个交点为47．
c。|’◇
‘刃
7支芝：汝编
|
则A7日．LC。Bo．
图1
万方数据
18中等数学
又因为B。、co分别是边翻、A曰的中
点，所以，c。风∥Bc．从而，A7日j-日c．
于是，点A7在朋上．
由切割线定理得
ACl’AC2=AA7·A日=ABI‘AB2．
故B。、曰2、C．、C2四点共圆．
分别作B。B：、C。C：的垂直平分线，设其
交点为D．则0是四边形日。占：c。c：的外接
圆圆心，也是△ABC的外心，且
OBI=OB2：OCI=OC2．
同理，OAl-OA2=OBl=OB2．
因此，A。、A：、B。、曰：、C。、C2六点都是在
以D为圆心、OA，为半径的圆上．
故A．、A2、B．、B2、CI、C2六点共圆．
．2．(1)镐=口，南=6，刍=‘c．则-X—J''，一lZ—I
口bc
石2i1，Y2F1∥。i1‘
由xyz=1
jⅡbc：(o一1)(b二1)(c—1)
=争n+b+c—l=ab+6c+c0
j2+b2+c2
=(o+b+C)2—2(曲+6c+ca)
=(口+b+C)2—2(口+b+c—1)
=(口+b+c一1)2+l
≥1j南+南+南扎
(2冷(x,y,z)=(一南加以等)
(后∈N+)．则(z，Y，三)是三元有理数组，菇、Y、
z都不等于l，且对于不同的正整数k，三元
有理数组(戈，Y，z)互不相同．此时，
Z2V2彳2研+商+丽
k2(k—k2)2．(k—1)22孺研+孺丽+‘(k2-k；1)2
后4—2k3+3后2—2k+1．。—1矿i了r叫·
从而，命题得证．
3．设m(m≥20)是整数，P是(m!)2+1
的一个质因子．则P>mI>20．
令整数n满足0
凡曼±m!(roodP)．
于是，0
凡2兰一1(modP)．①
故(p一2n)2=P2—4m+4n2羞一4(删p)．
贝Jl(p一2n)2≥p一4，
P≥2n+~／P一4≥2n+以忑Z雨
>2n+／磊．②
由式①、②知命题成立．一
4．令训=石=Y=Z=1．则
(八1))2=∥1)．
所以，八1)=1．
叉寸任意t>0，令训=t，z=1，Y=z=√t．
则锄铲=等．‘
去分母整理得
(以t)一1)(f(t)一t)=0．
所以，对每个t>0，
厂(￡)=t或八t)=÷．①
若存在b、C∈(0，+∞)，使得
以b)≠b，f(c)≠÷，
则由结论①知b、c都不等于1，且
八6)三吉，以c)=c·
令tt7=b，x=c，Y=z=~／be．则
12
萨+c62+c2而2百’故肚)=揣．一
因为，(6c)=be或／(6c)=瓦1．
万方数据
2008年第9期19
若厂(6c)=bc，则
．
c+b2c3
-∞2可矿了孬。
得b4c=c，b=1，矛盾．
若厂(∽=瓦1，则
lc+b2c3
瓦2页矿i孬。
得b2c4=b2，C=1，矛盾．
所以，或者八石)=名，z∈(0，+∞)；
1
或者．厂(石)=土，算∈(0，+∞)．
耳
经检验，以z)=算，石∈(0，+∞)和f(x)
=三，z∈(0，+00)均满足要求．
石
5．(张瑞祥的解答)所求的比值为2¨“．
引理设t是正整数，如果一个t元0，1
数组(al，a2，…，a。)(aI，a2，…，a。∈{O，1})
其中共有奇数个0，那么，称其为“好的”．则
好数组共有2。1个．
引理的证明：事实上，对于相同的a．，
a：，…，a川，在a。取O，1时得到的两个数组
中的奇偶性不同，则恰好有一个为好的．于
是，可以将总共2‘个不同的可能数组两两配
对，每对数组仅有a。不同，则每对恰好有一
个好数组，故好数组占总体的一半，即2“1
个．
引理得证．
称k次操作后灯l，2，…，n是开的且灯
n+1，n+2，…。2n是关的状态的操作序列的
全体记为A类列；k次操作后灯l，2，…，／7,是
开的且灯n+1，n+2，…，2n是关的，但灯
n+1，n+2，…，2n始终没有被操作过的操
作序列的全体记为日类列．
对于任意一个日类列b，将有如下性质
的A类列a全部与它对应：“a的各元素在
模n的意义下对应相同”(例如，n=2，k=4
时，b=(2，2，2，1)可对应如a=(4，4，2，1)，
a=(2，2，2，1)，a=(2，4，4，1)等)．那么，由
于b是B类列，其中1，2，…，n的个数必定
全为奇数，而口是A类列，又要求a中1，2，
…，n的个数全为奇数，且n+1，n+2，…，2乃
的个数全为偶数．
于是，对任意的i∈{1，2，…，n}，设b中
有bi个i．则a必须且只需满足：对任意的i
∈{1，2，…，n}，b中是i的bi个元所在位上
在a中都是i或者n+i，且i有奇数个(自然
n+i就有偶数个)．
由引理及乘法原理，b恰可对应
TT2q～：2¨n
?-上
个不同的a，而每个A中的元a均有曰中一
元(唯一的一个元)b(它是把a的各位变成
它除以n的最小正余数)可以对应它．
从而，必有14I=2““IBI，即
N=2‘一“M．
又易知M≠O(因为操作列(1，2，…，／l,，
／''t，…，n)∈B)，则
鱼一1^一。M一‘
‘
6．(牟晓生的解答)先证两个引理．
引理1设四边形ABCD是凸四边形，
圆∞与射线鲋(不包括线段删)相切，与射
线BC(不包括线段BC)相切，且与直线AD
和CD都相切．则
AB+AD=CB+CD．
引理1的证明：如
图2，设直线AB、BC、
CD、DA分别与圆叫切
于点P、Q、R、S．则
茂B+心
=CB+CD
甘仰+(AD+DS)
=CB+(CD+DR
铮AB+AS图2
=CB+CR
§佃+AP=CB+CQ
§BP=BQ．
从而，引理1得证．
引理2设00。、002、00，的半径两
两不等．则它们的外位似中心共线．
万方数据
中等数学
引理2的证明：设X，是O0．与o02的
外位似中心
(如图3)，X：
是00，与003
的外位似中
心，X。是002
与O0，的外
图3
位似中心，^是00；(i=l，2，3)的半径．
由位似的性质知
0IX37l
X30272
这里的0。Xs表示有向线段0。X，．
同理，呈些：一一r2，—03—X2：一_r3．
Xl0373X20l7I
故些．些．一03X2X302X103X20I
=(一三)(一罢)(一r3，，)=一·．
由梅涅劳斯定理知，xI-、x：、X，三点共
线．
如图4，设U、y分别是圆cU。、∞：与』4C
的切点．
图4则Ay=—AD—+A厂C-CD=丁AC+TAD-CD
ACCB—AB
2T+—丁
=塑等半(由引理1)=CU．
所以，△ABC的关于顶点曰的旁切圆∞3
与边AC的切点亦为V．
因此，叫：与叫，内切于点V，即V为叫z
与∞，的外位似中心．
设K是∞，与cc，：的外位似中心(即两条
外公切线的交点)，由引理2知，K、y、曰三点
共线．
完全类似可得K、D、U三点共线．
因为鲋≠BC，所以，U≠y(否则，由AV
=CU知，U=y是边AC的中点，与肼≠BC
矛盾．)．
因此，直线BV与DU不重合．
故K：8vNDU．
于是，只需证明直线BV与DU的交点在
圆叫上．
作圆∞的一条平行于AC的切线f(靠近
边AC的那条)，设f与圆叫切于点r．
下证：曰、y、丁三点共线．
如图5，设Z
与射线BA、BC分
别交于点A。、c。．
则圆叫是△尉。C。
的关于顶点B的
旁切圆，r是其与
A。C．的切点．而圆
叫、是△BAC关于
点B的旁切圆，圆
OJ3与AC切于点图5
y．由A。c．／／AC知，△BAC与△鲋。Cl以B
为中心位似，而y、r分别是对应旁切圆与对
应边的切点，因此，y、r是这一对位似形中
的对应点．而日是位似中心，故B、y、r三点
共线．
同理可证D、u、r三点共线．
从而，命题得证．
(熊斌冯志刚提供)
万方数据
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