数 学(理工农医科)
第Ⅰ卷
本试卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 参考公式:
如果事件
互斥,那么 球的表面积公式 
其中
表示球的半径
如果事件
相互独立,那么 球的体积公式
其中
表示球的半径
一、选择题:
1. 设集合
则
A.
B.
C.
D.
2.已知函数
连续,则常数
的值是
A.2 B.3 C.4 D.5
3.复数
的值是
A.-1 B.1 C.-
D.
4.已知函数
,下面结论错误的是
A.函数
的最小正周期为
B.函数
在区间
上是增函数
C.函数
的图像关于直线
对称 D.函数
是奇函数
5.如图,已知六棱锥
的底面是正六边形,
,则下列结论正确的是
A.
B.平面
C. 直线
∥平面
D.
6.已知
为实数,且
。则“
”是“
”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知双曲线
的左右焦点分别为
,其一条渐近线方程为
,点
在该双曲线上,则
=
A.
B.
C .0 D. 4
8.如图,在半径为3的球面上有
三点,
,球心
到平面
的距离是
,则
两点的球面距离是
A.
B.
C.
D.
9.已知直线
和直线
,抛物线
上一动点
到直线
和直线
的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.
D.
10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
12.已知函数
是定义在实数集
上的不恒为零的偶函数,且对任意实数
都有
,则
的值是
A.0 B.
C.1 D.
第Ⅱ卷
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.
的展开式的常数项是 (用数字作答)
14.若⊙
与⊙
相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是
15.如图,已知正三棱柱
的各条棱长都相等,
是侧棱
的中点,则异面直线
所成的角的大小是 。
16.设
是已知平面
上所有向量的集合,对于映射
,记
的象为
。若映射
满足:对所有
及任意实数
都有
,则
称为平面
上的线性变换。现有下列命题:
①设
是平面
上的线性变换,则
②对
,则
是平面
上的线性变换;
③若
是平面
上的单位向量,对
,则
是平面
上的线性变换;
④设
是平面
上的线性变换,
,若
共线,则
也共线。
其中真命题是 (写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
在
中,
为锐角,角
所对应的边分别为
,且
。 (I)求
的值;
(II)若
,求
的值。
18. (本小题满分12分)
为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中
是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有
持金卡,在省内游客中有
持银卡。
(I)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;
(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量
,求
的分布列及数学期望
。
19(本小题满分12分)
如图,正方形
所在平面与平面四边形
所在平面互相垂直,△
是等腰直角三角形,
。 (I)求证:
;
(II)设线段
的中点为
,在直线
上是否存在一点
,使得
?若存在,请指出点
的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;
(III)求二面角
的大小。
20(本小题满分12分)
已知椭圆
的左右焦点分别为
,离心率
,右准线方程为
。 (I)求椭圆的标准方程;
(II)过点
的直线
与该椭圆交于
两点,且
,求直线
的方程。
21. (本小题满分12分)
已知
函数
。
(I)求函数
的定义域,并判断
的单调性; (II)若
(III)当
(
为自然对数的底数)时,设
,若函数
的极值存在,求实数
的取值范围以及函数
的极值。
22. (本小题满分14分)
设数列
的前
项和为
,对任意的正整数
,都有
成立,记
。 (I)求数列
的通项公式;
(II)记
,设数列
的前
项和为
,求证:对任意正整数
都有
; (III)设数列
的前
项和为
。已知正实数
满足:对任意正整数
恒成立,求
的最小值。
数学(理工农医类)参考答案
一、 选择题:本体考察基本概念和基本运算。每小题5分,满分60分。
(1) C (2) B (3) A (4) D (5) D (6) B
(7) C (8) B (9) A (10)D (11) B (12) A
二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题4分,满分16分。
(13) -20 (14)4 (15)
(16)①②③
三、解答题
(17)本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。
解:(Ⅰ)
、
为锐角,
,
又
,
,
,
………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,
.
由正弦定理
得
,即
,
,
,
……………………………………12分
(18)本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察运用概率只是解决实际问题的能力。
解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件
为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,
事件
为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,
事件
为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。




所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是
。……6分
(Ⅱ)
的可能取值为0,1,2,3
, 
,
, 所以
的分布列为
所以
, ……………………12分
(19)本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一:(Ⅰ)因为平面
⊥平面
,
平面
,
平面
平面
,
所以
⊥平面
。 所以
⊥
.
因为
为等腰直角三角形,
,
所以
又因为
,所以
,
即
⊥
,
所以
⊥平面
。 ……………………………………4分
(Ⅱ)存在点
,当
为线段AE的中点时,PM∥平面
取BE的中点N,连接AN,MN,则MN∥=
∥=PC
所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN
因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,
所以PM∥平面BCE ……………………………………8分
(Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。从而,FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH
因此,∠AEF为二面角F-BD-A的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.
设AB=1,则AE=1,AF=
.
FG=AF·sinFAG=
在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
=
,
GH=BG·sinGBH=
·
=
在Rt△FGH中,tanFHG=
= 
故二面角F-BD-A的大小为arctan
. ………………………………12分
解法二:(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE
平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而,
.
所以
,
,
.
,
.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE
平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
M ( 0,0,
), P ( 1,
,0 ).
从而
=
,
于是
·
=
·
=0
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,
故PMM∥平面BCE. ………………………………8分
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为
,并设
=(x,y,z).
, 

即 
取y=1,则x=1,z=3。从而
。
取平面ABD的一个法向量为
。
。
故二面角F—BD—A的大小为arccos
。……………………………………12分
(20)本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。
解:(Ⅰ)有条件有
,解得
。

。
所以,所求椭圆的方程为
。…………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
、
。
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1.
将x=-1代入椭圆方程得
。
不妨设
、
,
.
,与题设矛盾。
直线l的斜率存在。
设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1)。
设
、
,
联立
,消y得
。
由根与系数的关系知
,从而
,
又
,
,
。



。
化简得
解得

(21)本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解:(Ⅰ)由题意知
当

当
当
….(4分)
(Ⅱ)因为
由函数定义域知
>0,因为n是正整数,故0<a<1.
所以
(Ⅲ)
令
① 当m=0时,
有实根
,在
点左右两侧均有
故无极值
② 当
时,
有两个实根
当x变化时,
、
的变化情况如下表所示:
的极大值为
,
的极小值为
③ 当
时,
在定义域内有一个实根,
同上可得
的极大值为
综上所述,
时,函数
有极值;
当
时
的极大值为
,
的极小值为
当
时,
的极大值为
(22)本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解:(Ⅰ)当
时,
又 

数列
成等比数列,其首项
,公比是

……………………………………..3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

= 
又
当
当

(Ⅲ)由(Ⅰ)知
一方面,已知
恒成立,取n为大于1的奇数时,设
则


>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足
的正奇数n成立,矛盾。
另一方面,当
时,对一切的正整数n都有
事实上,对任意的正整数k,有



当n为偶数时,设
则
<
当n为奇数时,设
则
<
对一切的正整数n,都有
综上所述,正实数
的最小值为4………………………….14分