【本讲教育信息】 一. 教学内容: 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量 3.2.5 距离
二. 教学目的 1、理解斜线和平面所成的角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性;会求直线与平面的夹角. 2、掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义,会找一些简单图形中的二面角的平面角;掌握求二面角大小的基本方法与步骤. 3、理解图形F1与图形F2的距离的概念;掌握点线距、线线距、线面距、面面距的概念,会解一些简单的与距离有关的问题.
三. 教学重点、难点 ◆重点: (1)斜线与平面所成的角(或夹角)及其求法; (2)二面角的概念,二面角的平面角的定义; (3)点线距、线线距、线面距、面面距的概念;点到平面距离的求法. ◆难点: (1)二面角大小的求法. (2)斜线与平面所成的角的求解;公式
四. 知识分析 3.2.3直线与平面的夹角 1、提出问题: (1)直线与平面的位置关系有哪些?(l (2)当直线与平面斜交时,“倾斜程度”该如何衡量?(此时,对线面角的提出有了强烈的要求) (3)线面角的大小怎样度量? 方案:转化为合适的线线角. 【探究】已知平面γ及它的一条斜线l,斜足为O,则过O在平面γ内的直线m与l所夹的角是否不变? 先观察:肯定变化 再论证:在l上取一点P,作PQ⊥γ于Q,过Q作QM⊥m于M,连接PM,易知PM⊥m.如图记l与m所成的角(即∠POM)为β,记l与它在平面γ上的射影OQ所成的角为θ,∠QOM=α在OM上取单位向量 这说明,由于θ为定角,所以β随α而变化: 当α=0°时, 当α=90°时, 【结论】 斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 2、定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角). 注:(1)数学思想——转化:线面角→面面角 (2)关键:找射影 【练习】 (1)在棱长都为1的正三棱锥S-ABC中,侧棱SA与底面ABC所成的角是________. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________; ②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________; ③CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________; ④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________; ⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________; (3)已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60°,试求OA与平面BOC所成的角的大小.
3.2.4二面角及其度量 1、二面角的概念及记法 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;叫做二面角 说明:对二面角概念的理解,可类比与平面几何中角的定义.射线——半平面,顶点——棱. 2、二面角 定义:在二面角 【探讨】尝试用向量求二面角的大小 如图所示,分别在二面角 如图,设m1⊥α,m2⊥β,则角<m1,m2>与该二面角相等或互补. 3、求二面角平面角的方法 (1)定义法 实例:过空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC,两两夹角60°,试求二面角B-OA-C的大小. 分析:如图,在射线OA上取点P,使OP=1,过P作PM⊥OA,交OB于M,作PN⊥OA,交OC于N,连接MN.则显然∠MPN为所求二面角的一个平面角. 利用已知条件可以迅速求出OM=ON=MN=2,PM=PN= (2)三垂线定理 实例:如图,已知直角Rt△ABC,∠ACB=90°,PB⊥平面ABC,试求二面角B-PA-C的大小. 分析:由已知,得:平面PAB⊥平面ABC,为了找此二面角的一个平面角,我们可先过C作CM⊥AB,这样CM⊥平面PAB,然后,过M作MN⊥PA于N,连接CN.根据三垂线定理,得:CN⊥PA,于是∠MNC就是所求二面角的一个平面角.(想一想,还可以怎么做?)
3.2.5距离 【求距离的注意事项】 (1)求空间各种距离时,要紧紧抓住线线、点面、线面、面面之间距离的转化,其中,最基本、最重要的是点面距. (2)求距离和求角一样,都要按照一作二证三计算的步骤进行,不可忽视第二步的证明. (3)求距离时,要注意四点: ①合理选点:当线面平行时,选端点中点、交点.当用体积法求点面距时,选高线长容易确定的顶点. ②点点距离等于向量的模长,建立空间直角坐标系,探求向量坐标,继而求出模长、思路更加清晰,学生更易掌握. ③异面直线的距离注意考纲要求,不要扩张. ④注意立体几何与代数内容的结合点,如几何背景下的函数最值问题,几何问题代数化的向量方法等等.
【典型例题】 例1. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图所示,E,F分别是棱AA1、AB的中点,求EF和平面ACC1A1所成角的大小. 解析:解法1:过F作FG⊥AC于点G,连结EG, ∵平面 ∴FG⊥平面 EG为EF在平面 ∴∠GEF即为EF与平面 设正方体棱长为1,则 又RtΔAGF中,∠GAF= ∴ ∴RtΔEGF中, ∴∠GEF= 解法2:∵E、F分别是 ∴ ∴所求即为 设AC和中点为 由平面 ∴∠ 设正方体棱长为1, RtΔ ∴ 解法3:建立如图所示的直角坐标系, 设正方体棱长为2,则E(2,0,1),F(2,1,0) 作FG⊥AC于G,由解法1知,∠GEF即为所求. ∵RtΔAGF中,∠GAF ∴ ∴G( ∴ ∴ ∴EF与平面 点评:此题考查直线和平面所成角,其中,利用定义找射影是基本方法,确定斜线在平面内射影的一般步骤:先找直线上不同斜足的一点(通常是已知的相关点)在平面内的射影,再将其与斜足连结,即得.
例2.(2004,江苏卷)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP. (1)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP; (3)求点P到平面ABD1的距离. 解析:(1)∵AB⊥平面 ∴AP与平面 如图建立空间直角坐标系,坐标原点为D. ∵ ∵ ∴直线AP与平面 (2)连结 ∴ ∴ ∵平面 ∴ (3)连结 ∵AB⊥平面 ∴PQ⊥AB ∴PQ⊥平面 ∴PQ就是点P到平面 在RtΔ ∠PC1Q=45°,PC1=3,∴ 即点P到平面ABD1的距离为
例3. 如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1, 解析:以A为原点,AD,AB,AS分别为x,y,z轴建立直角坐标系,依题意有 S(0,0,1),C(1,1,0),D( 设 则 解得n=(2,-1,1), 因为 所以
例4. 如图,底面等腰直角三角形的直三棱柱 解析:因为∠C= 所以 设平面 则 所以 而平面 所以 ∴所求二面角大小为
【模拟试题】 1. 正方体 A. 2. 正四面体ABCD,E、F分别为AC、AD中点,则ΔBEF在面ADC上的射影是( ) 3. 平行六面体 A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心 4. 一直线与两个互相垂直的平面所成的角分别为α、β,则( ) A. C. 5. 一直线l,与平面α斜交成θ角,那么直线l与平面α内所有直线所成的角中,最小角和最大角分别是( ) A. 0, 6. 已知在ΔABC中,AB=9,AC=15,∠BAC A. 49 B. 7. 线段AB夹在直二面角 A. 8. 平面α内的∠MON=60°,PO是平面α的斜线段,PO=3,且PO与∠MON的两边都成45°的角,则点P到α的距离为( ) A. 9. E是正方形ABCD的边AB的中点,将ΔADE和ΔBCE沿DE、CE向上折起,使A、B重合于点P,则二面角D—PE—C的大小为( ) A. 45° B. 60° C. 90° D. 大于90° 10. 在棱长为1的正方形 A. 11. 在三棱锥P—ABC中,若PA=PB=PC,则点P在面ABC内的射影是ΔABC的__________. 12. 长方体 13. ΔABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同侧,则ΔABC的重心到平面α的距离为__________. 14. 已知RtΔABC的直角顶点C在平面α内,斜边AB//α,AB 15. 在正四边体A—BCD中,E、F分别为AD、BC中点. (1)求AF与CE所成角的余弦值. (2)求CE与面BCD所成的角. 16. 在直三棱柱 17. 已知正方体 (1)求证:MO为 (2)求证: (3)求证: (4)求证:平面 18. 如图:多面体由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得,AB=4,BC=1,BE=3,CF=4,建立如图坐标系. (1)求 (2)求异面直线EF与AD所成的角; (3)求截面AEFG与底面ABCD所成的锐二面角的正切值.
【试题答案】 1~10 C A D D A D D A B C 11. 外心 12. 13. 4 14. 2 15. 证明:(1)AB=AC=AD=a 设 ∴ ∴AF与CE夹角为 (2)AO为正四面体的高, ∠ECH为EC与面BCD所成的角, ∴CE与面BCD所成的角为 16. 取 ∵Δ ∵ ∴ 连结AD. ∴∠DAB1是所求的角, ∴∠DAB 17. (1)建立如图坐标,A1(a,0,0),A(a,0,a),B1(a,a,0),D(0,0,a),O( (2) ∴B1D与面AB1成角为 (3)B1D⊥A1C1,B1D⊥A1B, ∴B1D⊥面A1BC1. (4) ∴面 ∵ ∴ ∴面 18. 解析:由题图可知A(1,0,0,),B(1,4,0),E(1,4,3),F(0,4,4), ∴ 设G(0,0,z),因为平面ADG//平面BCFE,且截面AEFG截平面ADG和平面BCFE分别于AG、EF,所以AC//EF,同理可得AE//FG. ∴四边形AEFG是平行四边形. ∴ ∴G(0,0,1). (2) ∴ ∴ 即AD与EF所成的角为45° (3) S平行四边形AEFG= 由射影面积,设平面AEFG与平面ABCD成θ°角 ∴ |
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