流体在管内的流动阻力

 

 

 

 流体在管内的流动阻力   

 

一、计算圆形直管阻力的通式

流体在管内以一定逮度流动时，有两个方向相反的力相互作用着。一个是促使流动的推动力，这个力的方向和流动方向一致，另一个是由内摩擦而引起的摩擦阻力，这个力起了阻上流体运动的作用，其方向与流体前流动方向相反。只有在推动力与阻力达平衡的条件下，流动速度才能维持不变，即达到稳态流动。

图1-23 直管阻力通式的推导

如图1-23所示，流体以速度。在一段水平直管内作稳定流动，对于不可压缩流体可写出截面1-1′，与2-2′间的柏努利方程式为：

因是直径相同的水平管，左翼Z1=Z2，u1=u2=u，上式可筒化为：

（1-39）

现分析流体在一段直径为d、长度为l的水平管内受力的情况：

垂直作用于截面1-1′上的压力P1=p1A1-p1πd2/4

垂直作用于截面2-2′上的压力P2=p2A2-p2πd2/4

P1与P2的作用方向相反，所以有一个净压力(P1-P2)作用于整个流体柱上，推动它向前运动，这就是流动的推动力，它的作用方向与流动方向相同，其大小为：

平行作用于流体柱表面上的摩擦力为：

摩擦力阻止流体向前运动，这就是流动的阻力，它的作用方向与流动方向相反。

根据牛顿第二运动定律，要维持流体在管内作匀速运动，作用在流体柱上的推动力应与阻力的大小相等，方向相反，即：

则

以式1-39代入上式得：

（1-40）

上式就是流体在圆形直管内流动时能量损失与摩擦应力关系式，但还不能直接用来计算hf，因为内摩擦应力所遵循的规律因流体流动类型而异，直接用τ计算hf有困难，且在连续性方程式及柏努利方程式中均无此项，故式1-40直接应用于管路的计算很不方便。下面将式1-40作进一步的变换，以消去式中的内摩擦应力τ。

由实验得知，流体只有在流动情况下才产生阻力。在流体物理性质，管径与管长相同情况下，流速增大，能量损失也随之增加，可见流动阻力与流速有关。由于动能u2/2与hf的单位相同，均为J/kg，因此经常把能量损失hf表示为动能u2/2的函数。于是可将式1-40改写成：

令

则

（1-41）

或

（1-41a）

式1-41与1-41a是计算圆形直管阻力所引起能量损失的通式，称为范宁(Fanning)公式，此式对于滞流与湍流均适用。式中λ是无因次的系数，称为摩擦系数，它是雷诺数的函数或者是雷诺数与管壁粗糙度的函数。应用上两式计算hf时，关键是要找出λ值。

前已指出，滞流与湍流是两种本质不同的流型。由于在式1-41与1-41a的推导过程中，曾令λ*=8τ/（ρu2），其中的摩擦应力τ所遵循的规律因流型而异，因此λ值也随流型而变。所以，对滞流和湍流的摩擦系数λ要分别讨论。此外，管壁粗糙度对λ的影响程度也与流型有关。

二、管壁粗糙度对摸摩擦系数的影响
化工生产上所铺设的管道，按其材料的性质和加工情况，大致可分为光滑管与粗糙管。通常把玻璃管，黄铜管，塑料管等列为光滑管，把钢管和铸铁管等列为粗糙管。实际上，即使是用同一材质的管于铺设的管道，由于使用时间的长短，腐蚀与结垢的程度不同，管壁的粗糙程度也会发生很大的差异。
相对粗糙度是指绝对粗糙度与管道直径的比值，即ε/d。管壁粗糙度对摩擦系数λ的影响程度与管径的大小有关，如对于绝对粗糙度相同的管道，直径不同，对λ的影响就不同，对直径小的影响较大。所以在流动阻力的计算中不但要考虑绝对粗糙的大小，还要考虑相对租糙度的大小。
（a）	（b）
图1-24 流体流过管壁面的情况
流体作滞流流动时，管壁上凹凸不平的地方都被有规则的流体层所覆盖，而流动速度又比较缓慢，流体质点对管壁凸出部分不会有碰撞作用．所以，在滞流时，摩擦系数与管壁粗糙度无系。当流体作湍流流动时，靠管壁处总是存在着一层滞流内层，如果滞流内层的厚度δb大于壁面的绝对粗糙度，即δb>ε，如图1-24(a)所示，此时管壁粗糙度对摩擦系数的影响与滞流相近。随着Rl数的增加，滞流内层的厚度逐渐变薄，当δb<ε时，如图1-24(b)所示，壁面凸出部分便伸入湍流区内与流体质点发生碰撞，使湍动加剧，此时壁面粗糙度对摩擦系数的影响便成为重要的因素。Rl值愈大，滞流内层愈薄，这种影响愈显著。
三、滞流时的摩擦系数
由上得知，影响滞流摩擦系数λ的因素只是臂诺准数Re, 而与管壁的粗糙度无关。λ与Re的关系式可用理论分析方法进行推导。
图1-25 λ与Re关系式的推导
设流体在半径为月的水平直管段内作滞流流动，于管轴心处取一半径为r，长度为l的流体柱作为分析对象，如图1-25所示，作用于流体柱两端面的压强分别为p1和p2，则作用在流体柱上的推动力为：
设距管中心r处的流体速度为ur，(r+dr)处的相邻流体层的速度为(ur+dur)，则流体速度沿半径方向的变化率(即速度梯度)为dur/dr，两相邻流体层所产生的内摩擦应力为τr。滞流时内摩擦应力服从牛顿粘性定律，即：
式中的负号是表示流速ur沿半径r增加的方向而减小。
作用在流体柱上的阻力为：
流体作等速运动时，推动力与阻力大小必相等，方向必相反，故
或
积分上式的边界条件：当r=r时，ur=ur；当r=R(在管壁处)时，ur=0。故上式的积分形式为：
积分并整理得：
（1-42）
式1-42是流体在圆管内作滞流流动时的速度分布表达式。它表示在某一压强降Δpf之下，ur与r的关系，为抛物线方程。
工程中常以管截面的平均流速来计算流动阻力所引起的压强降，故须把式1-42变换成Δpf与平均速度u的关系才便于应用。
由图1-25可知，厚度为dr的环形截面积dA=2πrdr,由于dr很小，可近似地取流体在dr层内的流速为ur，则通过此截面的体积流量为dVs=urdA=ur(2πrdr)。当r=0时，Vs=0，r=R时，Vs=Vs。所以整个管截面的体积流量为：
由于管截面的平均流速可写成：u=Vs/A
于是
将式1-42代入上式，进行积分并整理得：
（1-43）
再以R=d/2代入上式，并整理得：
（1-44）
式1-44为流体在圆管内作滞流流动时的直管阻力计算式，称为哈根-泊稷叶(Hagon-Poiseuille)公式。由此可以看出，滞流时Δpf与u的一次方成正比。将式1-44与1-41a相比较，便知：
（1-45）
式1-15为流体在圆管内作滞流流动时λ与Re的关系式。若将此式在对数坐标上进行标绘可得一直线，如图1-26所示。
附带指出，根据流体在圆管内作滞流流动时的速度分布表达式1-42知,当r=0时，则管中心处的最大流速为：
把这个结果与式1-43相比较，便知滞流时圆管截面的平均速度u=umax/2，或u/umax=0.5。这个事实已在前面指出过，这里又从理论上加以证明。

四、湍流时的摩擦系数与因次分析

前已指出，在湍流情况下，由于流体质点不规则的运动与脉动，且不断发生旋涡，所产生的内摩擦比滞流时大得多。内摩擦应力的大小不能用牛顿粘性定律来表示。前已述及，可模仿滞流时的形式而写成：

（1-33）

式中e称为湍流粘度系数或涡流粘度，其单位虽然与流体粘度μ相同，但本质迥然有别，μ是流体的物理性质，由流体本身来决定，而e不是流体的物性，它的大小由流体流动状况所决定。由于湍流时流体质点运动情况复杂，目前还不能完全依靠理论导出一个表示e的关原式，因此也就不能象滞流那样，完全用理论分析法建立求算湍流时摩擦系数λ的公式。

工程技术中常会遇到所研究的现象过于复杂，虽然已知其影响因素，但还不能建立数学表达式，或者虽然建立了数学表达式，但无法用数学方法求解。因此，常须通过实验建立经验关系式。在进行实验时，每次只能改变一个影响因素，即变量，而把其它变量固定。若过程牵涉的变量很多，实验工作量必然很大，同时要把实验结果关联成一个便于应用的简单公式，往往也是很困难的，若利用因次分析的方法，可将几个变量组合成一个无因次数群，例如雷诺数Re就是由d，u，ρ和μ四个变量所组成的无因次数群。这样用无次数群代替个别的变量进行实验。数群的数目总是比变量的数目少，实验次数就可以大大减少，关联数据的工作也会有所简化。

因次分析的基础是因次一致性的原则和所谓π定理。因次一致性的原则表明：凡是根据基本物理规律导出的物理方程，其中各项的因次必然相同。例如，表示以等加速度。运动的物体，在θ时间内所走过的距离l的公式为：

（1-46）

上式的因次公式可写成：

式L和θ分别为长度和时间的因次，而上式中各项的因次均为长度的因次L。

对于因次一致的物理方程式，只要把式中各项都除以其中任一项，均可得到以无因饮数群表示的关系式。以式1-46为例，如果各项均除以l，便得：

（1-46a）

根据白金汉(Buckingham)所提出的π定理，任何因次一致的物理方程都可以表示为一组无因次数群的零函数，即：

(1-47)

方程式1-46a可以写成:

(1-48)

可见，式1-46的物理方程可以表示成无因次数群u0θ/l和αθ2/2l的零函数。

π定理还指出：无因次数群π1、π2…的数目i等于影响该现象的物理量数目π减去用以表示这些物理量的基本因次的数目m，即：

i=n-m    （1-49）

由于式1-46中的物理量数目n=4，即l、u0、θ及α；基本因次数m=2，即L及θ。所以无因次数群的数目i=4-2=2。

应指出，只有在微分方程不能积分时，才采用因次分析法。因上面例子极其简单，故只借以说明寻求无因次数群的途径。

若过程比较复杂，仅知道影响某一过程的物理量，而不能列出该过程的微分方程，则常用雷莱(Lord Rylegh)指数法将影响过程的因素组成为无因次数群。下面用湍流时的流动阻力问题来说明雷莱指数法的用法。

根据对湍流时流动阻力的性质的理解，以及所进行的实验研究综合分析，可以得知为克服流动阻力所引起的能量损失Δpf应与流体流过的管径d、管长l、平均流速u，流体的密度ρ及粘度μ、管壁的粗糙度ε有关。据此可以写成一般的不定函数形式，即：

（1-50）

上面的关系也可以用幂函数来表示，即：

（1-50a）

式中的常数K和指数a、b、c…等均为定值。

式中各物理量的因次是：

把各物理量的因次代入式1-50a,则两端的因次为：

根据因次一致性原则，上式等号两侧各基本量因次的指数必然相等，所以

对于因次M   j+k=1

对于因次θ  -c-k=-2

对于因次L   a+b+c-3j-k+q=-1

这里方程式只有3个，而未知数却有6个，自然不能联立解出各未知数的数值。为此，只能把其中的三个表示为另三个的函数来处理，设以b、k、q表示为a、c、j的函数，则联解得；

a=-b-k-q   c=2-k   j=1-k

将a、c、j值代入式1-50a得：

把指数相同的物理量合并在一起，即得：

（1-51）

式1-51中的无因次数群作为影响湍流时流动阻力的因素，则变量只有四个，而式1-50却包括7个变量。所以，进行实验按式1-51比式1-50要简便得多。

根据π定理可进一步证明本例中无因次数群的数目为4。与上述过程有关的物理量数目n=7，衷示这些物理量的基本因次数m=3，所以无因次数群的数目i=7-3=4。

以上通过实例，一方面对因次分析法的运用作了非常简略的介绍，另一方面也找出了影响直管阻力的准数函数式。在此，须明确下列两点：

(1)因次分析法只是从物理的因次着手，即把以物理量表达的一般函数式演变为以无因次数群表达的函数式。它并不能说明一个物理现象中的各影响因素之间的关系。在组合数群之前，必须通过一定的实验，对所要解决的问题作一番详尽的考察，定出与所研究对象的有关物理量。如果遗漏了必要的物理量，或把不相干的物理量列进去，都会导致错误的结论，所以因次分析法的运用，必须与实践密切结合，才能得到有实际意义的结果。

(2)经过因次分析得到无因次数群的函数式后，具体函数关系，如式1-51中的系数K与指数b、k、q仍需通过实验才能确定。

将通过实验定出的K、b、k及q值代入式1-51，再与式1-4la相比较，便可得出摩擦系数λ的计算式。这个式通常称为经验关联式或半理论公式。

湍流时，在不同Re值范围内，对不同的管材，λ的表达式亦不相同，下面列举几种。

（一）光滑管

1．柏拉修斯(Blasius)公式

（1-52）

2．顾毓珍等公式

（1-53）

（二）粗糙管

1．柯尔布鲁克(Colebrook)公式

（1-54）

2．尼库拉则(Nikuradse)与卡门(Karman)公式

（1-55）

计算λ的关系式还有许多，但都比较复杂，用起来很不方便。在工程计算中，一般将实验数据进行综合整理，以ε/d为参数，标绘Re与λ关系，如图1-26所示。这样，便可根据Re与ε/d值从图1-26中查得λ值。

由图1-26可以看出有四个不同的区域：

(1)滞流区 Re≤2000。λ与管壁租糙度无关，和Re准数成直线关系。表达这一直线的方程即为式1-45。

(2)过渡区 Re=2000～4000。在此区域内滞流或湍流的λ～Re曲线都可应用。为安全起见，对于流动阻力的计算，一般将湍流时的曲线延伸，以查取λ值。

(3)湍流区 Re≥4000及虚线以下的区域。这个区的特点是摩擦系数λ与Re准效及相对粗糙度ε/d都有关，当ε/d一定时，λ随月Re数的增大而减小，Re值增至某一数值后λ值下降缓慢，当Re值一定时，λ随ε/d的增加而增大。

(d)完全湍流区 图中虚线以上的区域。此区内的各λ～Re曲线，趋于水平线，即摩擦系数λ只与ε/d有关，而与Re准数无关。对于相对粗糙度ε/d愈大的管道，达到阻力平方区的Re值愈低。

五、流体在非圆形宣管内的流动阻力

前面所讨论的都是流体在圆管内的流动。在化工生产中，还会遇到非圆形管道或设备，例如有些气体管道是方形的，有时流体也会在两根成同心圆的套管之间的环形通道内流过。前面计算Re准数及阻力损失hf或Δpf的式中的d是圆管直径，对于非圆形管如何解决呢?一般来讲，截面形状对速度分布及流动阻力的大小都会有影响。实验证明，在湍流情况下，对非圆形截面的通道可以找到一个与圆形管直径d相当的“直径”以代替之。为此，引进了水力半径rH的概念。水力半径的定义是流体在流道里的流通截面A与润湿周边长Π之比，即：

（1-56）

对于直径为d的圆形管子，流通截面积A=πd2/4，润湿周边长度Π=πd,故

或    d=4rH

即圆形管的直径为其水力半径的4倍。把这个概念推广到非圆形管，则也采用4倍的水力半径来代替非圆形管的“直径”，称为当量直径，以de表示，即：

de=4rH    (1-57)

所以，流体在非圆形直管内作湍流流动时，其阻力损失仍可用式1-41及1-4la进行计算。但应将式中及Re准数中的圆管直径d以当量直径de来代替。

有些研究结果表明，当量直径用于湍流情况下的阻力计算比较可靠。用于矩形管时，其截面的长宽之比不能超过3:1，用于环形截面时，其可靠性较差。滞流时应用当量直径计算阻力的误差就更大，当必须采用式1-56及式1-57时，除式1-41及式1-4la中的d换以de外，还须对滞流时摩擦系数λ的计算式1-45进行修正，即；

λ=C/Re    （1-58）

式中C为无因次系数，一些非圆形管的常数C值见表1-3。

应予指出，不能用当量直径来计算流体通过的截面积、流速和流量，即式1-41，1-41a及Re准数中的流速u是指流体的真实流速，不能用当量直径de来计算。

表1-3   某些非圆形管的常数C值

非圆形管的截面形状 正方形 等边三角形 环形 长方形长：宽=2:1 长方形长:宽=4:1 常数C 57 53 96 62 73

[例1-19] 一套管换热器，内管与外管均为光滑管，直径分别为Φ30×2.5mm与Φ56×3mm、平均温度为40℃的水以每小时10m3的流量流过套管的环隙。试估算水通过环隙时每米管长的压强降。

解：设套管的外管内径为d1，内管的外径为d2。水通过环隙的流速为：

u=V/A

式中，水的流通截面

环隙的当量直径为：de=4rH

式中

所以

由本教材附录六查得水在40℃时，ρ=992kg/m3，μ=65.6×10-5Pa·s。

从图1-26光滑管的曲线上查得在此Re值下，λ=0.0196。

根据式1-41a得水通过环隙时海米管长的压降为；