2011年高考试题中的天体运动问题

2011年高考试题中的天体运动问题

陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室　邢彦君

2011年高考试题中的天体运动问题，试题情境熟悉，多为匀速圆周运动模型，不是卫星环绕地球的圆周运动，就是行星环绕太阳的圆周运动。运算简单，大多数试题直接运用开普勒第三定律进行分析或计算，有些试题则需运用牛顿第二定律与万有引力定律、“黄金代换”等分析计算。

 

一、运用开普勒第三定律类问题

 

开普勒第三定律适用于一个天体绕另一个天体的椭圆运动。对于天体沿椭圆轨道的环绕运动，椭圆轨道的半长轴立方与运动周期平方的比值等于常数，对于环绕同一天体运动的天体，定律中的常数是相同的。对于一个天体环绕另一天体的圆周运动，开普勒第三定律照样适用，这时定律中的半长轴应变为圆形轨道的半径。

 

例1．（全国课标卷-19）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×10⁵km，运行周期为27天，地球半径为6400km，无线电信号的传播速度为3.0×10⁸m/s）

 

A．0.1s    B．0.25s    C．0.5s    D．1s

 

解析：对月球绕地球的运动、卫星绕地球的运动分别运用开普勒定律可得：。电磁波信号从地球表面到卫星再到地面的传播时间为：，代入月球绕地球轨道半径r、地球半径R、月球运动周期（27天）、卫星运动周期（1天）及光速解得：t=0.24s，最接近0.25s。选项B对。

 

例2．（海南物理-12）2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星。建成以后的北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS系统由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为R₁和R₂，向心加速度分别为a₁和a₂，则R₁:R₂=_____；a₁:a₂=_____（可用根式表示）。

 

解析：北斗系统的同步卫星的运动周期为T₁=24h，GPS导航卫星的运动周期为T₁=12h。对北斗系列同步卫星及GPS导航卫星绕地球的运动分别运用开普勒第三定律有：、。解得：R₁:R₂=；由万有引力定律、牛顿第二定律分别有：、。解得：a₁:a₂=。

 

例3．（山东理综-17）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是

 

A．甲的周期大于乙的周期

 

B．乙的速度大于第一宇宙速度

 

C．甲的加速度小于乙的加速度

 

D．甲在运行时能经过北极的正上方

 

解析：由开普勒第三定律可知，甲的周期大于乙的周期。A对；对于卫星环绕地球的圆周运动，运用牛顿第二定律及万有引力定律有：或。解得：，。由于第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，由可知，乙的速度小于第一宇宙速度；由可知，甲的加速度小于乙的加速度。B错C对。同步卫星的环绕运动与地球的自转同步，其轨道平面应与赤道平面重合，它不可能经过北极正上方。D错。本题选AC。

 

例4．（全国大纲卷-19）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)。然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”。最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则每次变轨完成后与变轨前相比

 

A．卫星动能增大，引力势能减小

 

C．卫星动能减小，引力势能减小

 

B．卫星动能增大，引力势能增大

 

D．卫星动能减小，引力势能增大

 

解析：对卫星绕地球的运动，由开普勒第三定律可知，运动周期大，轨道半径大。卫星由半径小的轨道进入半径较大的轨道，引力对卫星做负功，卫星的引力势能增大，动能减小。D对。本题选D。

 

例5．（重庆理综-21）某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为

 

 

A．         B.     C．        D.

 

解析：由于每过N年，该行星会运动到日地连线的延长线上，所以有：。对地球、行星绕太阳的环绕运动运用开普勒第三定律得：。代入T₁=1年，解得：。本题选B。

 

例6．（安徽理综-22）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M_太。

 

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×10⁸m，月球绕地球运动的周期为2.36×10⁶s，试计算地球的质M_地。（G=6．67×10^-11Nm²/kg²，结果保留一位有效数字）

 

解析：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有： 。解得：。对比开普勒第三定律可得： 。

 

（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，对月球绕地球的运动，由上述结论有：，代入数据解得：M_地=6×10²⁴kg 。

 

二、运用牛顿第二定律及万有引力定律类问题

 

这类问题的基本思路与方法是，将天体视为质点，天体的环绕运动视为匀速圆周运动，中心天体对环绕运动的天体的万有引力提供向心力。因此，由牛顿第二定律及万有引力定律有以下几种形式的基本关系式：、、。在具体分析求解中，可依据问题涉及的是线速度、角速度、周期，灵活选用。另外，天体运动问题基本上都属于估算，也常常用到“物体在天体表面的重力近似等于天体对它的万有引力”这一近似关系，由这一近似关系可得：。式中g、M、R分别是天体表面的重力加速度、质量、半径，G是万有引力常量。若运用公式：及，还可利用以上基本关系及近似关系分析求解涉及中心天体密度类问题。

 

例7．（天津理综-8）质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的

 

A．线速度        B．角速度

 

C．运行周期       D．向心加速度

 

解析：对航天器环绕月球的圆周运动有：、、、。解得：，，，。由于，所以又有：，。本题选AC。

 

例8．（浙江理综-19）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T_1，总质量为m₁。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂则

 

A．X星球的质量为

 

B．X星球表面的重力加速度为

 

C．登陆舱在r₁与r₂轨道上运动是的速度大小之比为

 

D．登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期为

 

解析：对登陆舱在半径为r₁的轨道上的运动有：，解得：。A错；X星球表面运用近似关系有：，代入M解得：。B错；对登陆舱在两个轨道上的运动分别运用：可得：。C错；对登陆舱在两个轨道上的运动运用开普勒第三定律有：。解得：。D对。本题选D。

 

例9．（北京理综-15）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的

 

A．质量可以不同                   B．轨道半径可以不同

 

C．轨道平面可以不同               D．速率可以不同

 

解析：地球同步轨道卫星轨道必须在赤道平面内，否则它环绕地球的运动无法与地球的自转同步，即相对地面静止。C错；对卫星的环绕运动有：，由于卫星的环绕运动周期等于地球自转周期（定值，1天），所以轨道半径r是一定的。B错；轨道半径、周期一定，线速度（角速度）一定。D错；由、、可看出，同步卫星的轨道半径、线速度、角速度等与卫星质量无关。A对。本题选A。

 

例10．（江苏物理-7）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则

 

A．恒星的质量为            B．行星的质量为

 

C．行星运动的轨道半径为      D．行星运动的加速度为

 

解析：对行星环绕恒星的圆周运动，由牛顿第二定律机万有引力定律有：，，而，。解得：。A对；由于基本关系式中的环绕天体的质量将约去，所以无法算得环绕天体的质量。B错；由可算得，行星运动的轨道半径为：。C对；由及可算得：。D对。本题选ACD。

 

　　例11．（广东理综-20）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是

 

A．卫星距地面的高度为

 

B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度

 

C．卫星运行时受到的向心力大小为

 

　　D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

 

　　解析：对卫星环绕地球的圆周运动，运用牛顿第二定律及万有引力定律有：。解得：卫星距地面的高度为：h=，A错。第一宇宙速度等于近地卫星环绕速度，是地球卫星中的的最大环绕速度，B对。同步卫星距地面有一定的高度h，受到的向心力大小为， C错。可知，卫星运动的向心加速度为。由近似关系可知，地球表面的重力加速度为，D对。本题选BD。

 

2011-08-19  人教网