“vmax环=vmin发”的推证

“vmax环=vmin发”的推证

湖北省宣恩县第一中学　李绍先

人教版高中《物理》第一册（必修）第六章第五节“人造卫星宇宙速度”前言中叙述了牛顿著作中所绘的一幅人造卫星的原理图。如是说，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想过，从高山上用不同的水平速度抛出物体，速度越大，离山脚越远，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上去，它将围绕地球旋转，成为一颗绕地球运动的人造地球卫星，牛顿的这一设想早已为人类所实现。

从该节内容可知第一宇宙速度既是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度（简称“v_max环”），同时又是地球卫星的最小发射速度（简称“v_min发”）。那么两者之间的等量关系是如何获得、如何建立的？这或许是我们教师同行的共同疑问，现就我多年教学探索的一些体会，与大家分享，不当之处，敬请指正。现推证如下：

一、地球卫星绕地球做匀速口周运动的最大环绕速度

设G是万有引力常量，地球质量为M，人造地球卫星的质量是m．当人造地球卫星在离地心r处的轨道上绕地球以速度v做匀速圆周运动时，由地球对卫星的万有引力提供卫星环绕运行所需的向心力关系知

，

由此可知，轨道半径r越大，人造地球卫星环绕速度就越小。当地球卫星在地球表面附近环绕地球运行时，地球卫星的轨道半径r和地球半径R近似相等，于是有

7．9km/s称为第一宇宙速度。因为R是r的最小值，所以是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，即。

二、地球卫星的最小发射速度

轨道半径r越大，人造地球卫星环绕地球运转速度v就越小。但这并不是说从地面上把卫星送入半径r越大的轨道上运行时，所需要的地面发射速度就越小，这一点学生容易混淆。事实上，在运行速度越小的高轨道上运动的卫星，所需要的发射速度就越大。证明如下：

取离地球中心无穷远处为引力势能的零点，则物体在距地球中心为r处的引力势能可表示为

设地面上卫星的发射速度为v_发，先假定发射时不计空气阻力，地球卫星进人地球轨道半径r处时，卫星环绕速度为v，则由机械能守恒定律，可得

又因，将其代入上式可得

所以　　

从v_发可知地球卫星环绕半径r越大时，人造地球卫星所要求的发射速度就越大；若考虑空气阻力，当r越大时，卫星运行的速度就越小，但发射时须达到的速度就越大。也就是向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难的原因。从另一方面看，向高轨道发射卫星火箭要克服地球对它的引力就要做更多的功。

要发射一个贴“地皮”飞行的人造地球卫星，这时的r是最小的，从v_发可知卫星发射速度也是最小的，将r=R代入上式的v_发，得。

三、结论

比较一、二两个推证结论，可得

所以第一宇宙速度既是地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，同时又是地球卫星的最小发射速度。