活用导数的定义解题

活用导数的定义解题

广东省中山一中高中部　许少华

导数的定义是导数的基本概念之一，是导数的基础，也是学好导数必须扎实掌握的重点。围绕导数的定义产生的试题形形色色，为了让你全面认识这一概念，本文向你展示活用导数的定义解题，也许对你今后有学习会有帮助。请看：

 

1.求某点处的导数值

 

例1　已知，用导数定义求

 

解析：由于，

 

那么，故

 

点评：本题借助导数定义，巧妙的产生了的值。可以说这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法则及运算公式，这种方法依然少不了。

 

2.大小比较

 

例2　函数的图像如图所示,下列不等关系正确的是(     )

 

 

 

 

     (A)   (B)

 

(C)     (D)

 

     解析：根据导数的几何意义,考察函数在点A(2,)以及B(3,)的曲线的斜率，由图可见,过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率,则有。另一方面,在这两点的平均变化率为,其几何意义为割线AB的斜率,由图(5)可见,答案应为C。

 

    点评：本题借助于导数定义，对“平均变化率”进行了考察，通过“平均变化率”使结论产生，显然，导数的定义在背后产生了作用。

 

3.求极限值

 

例3　已知f（3）＝3，（3）＝－2，则：的值为（   ）.

 

A、0            B、2        C、3               D、6

 

解析：由（3）＝－2，可得，

 

于是＝＝＋＝1－＝1－（3）＝3.  故选C.

 

点评：本题中将（3）＝－2，结合导数的定义产生是解题的关键。有了这个转化，结论快速产生。

 

4.速度问题

 

例4　某质点沿直线运动，运动规律是，求：

 

    ⑴在这段时间内的平均速度，这里取值为1；

 

⑵时刻的瞬时速度。

 

解析：（1）由于

 

那么，因为取值为1，

 

故在这段时间内的平均速度为25

 

⑵在时刻的瞬时速度：由。

 

点评：求平均速度就是先求，再写出当的值；求时刻的瞬时速度，就是求，当时的极限。也就是在该点处的导数值。

 

5.探索性问题

 

例5　设为可导函数且满足，问曲线在点处的切线斜率是否存在？若存在求在该点的切线斜率；若不存在，请说明理由.

 

解析：∵为可导函数且,

 

∴,∴.

 

即在点处存在切线斜率,且在点处切线的斜率为

 

点评：本题是探索性问题，通过应用导数定义，借助已知条件产生了的值，从而肯定了点处的切线斜率存在。

 

好了，导数定义的活用，就谈到此，想一想你也能举出一例吗？