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§6.3平面与平面之间的位置关系 §6.3平面与平面之间的位置关系
一、基础知识导学
1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）. 2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）. 3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）. 4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).
二、疑难知识导析
1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点. 2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用. 3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明. 4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用. 5．注意二面角的范围是
三、经典例题导讲
[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ）. A.α+β<900 B.α+β≤900 C.α+β>900 D.α+β≥900 错解:A. 错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况. 正解：B. [例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ）.
A．90° B．60° C．50° D．45° 错解:A. 正解：C [例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成 错解： 错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形. 正解： [例4]点
（1）求 （2）求二面角 错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角. 正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则
因为二面角D－AC－B为直二面角，
又在
（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM． ∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF． ∴ 在Rt ∴ 所以，二面角 [例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线
解:作 ∵ α∥β∥γ，∴
因此，A1B1是α与β平面间的距离，B1C1是β与γ平 ∴ A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12
答：AB= [例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.
解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE 又∵α∥β，∴ AF∥BE 同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补 由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE= 由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD= 又∵△ACF的面积为72，即 S = 答：△BDE的面积为84平方单位. [例7]如图，B为
（1）求证：平面MNG∥平面ACD （2）求S 解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H
∵ M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心， 则有： 连结PF、FH、PH有MN∥PF 又PF ∴ MN∥平面ACD 同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M ∴ 平面MNG∥平面ACD. （2）由（1）可知： ∴MG= ∴MG= 同理：NG= ∴ △MNG∽△ACD，其相似比为1：3 ∴S
[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.
(1)求证：EFGH是矩形. (2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大. (1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF 同理HG∥CD.∴EF∥HG 同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形 由CD∥EF，HE∥AB ∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角， 又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形. (2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n ∴ 由HE∥AB ∴ 又∵四边形EFGH为矩形 ∴S矩形EFGH＝HE·EF＝ ∵m＋n≥2 ∴ S矩形EFGH=
点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.
四、典型习题导练
1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米． 2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．
3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．
4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°. 求证：平面ABC⊥平面BSC. 5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.
一、基础知识导学
1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）. 2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）. 3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）. 4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).
二、疑难知识导析
1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点. 2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用. 3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明. 4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用. 5．注意二面角的范围是
三、经典例题导讲
[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ）. A.α+β<900 B.α+β≤900 C.α+β>900 D.α+β≥900 错解:A. 错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况. 正解：B. [例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ）.
A．90° B．60° C．50° D．45° 错解:A. 正解：C [例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成 错解： 错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形. 正解： [例4]点
（1）求 （2）求二面角 错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角. 正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则
因为二面角D－AC－B为直二面角，
又在
（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM． ∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF． ∴ 在Rt ∴ 所以，二面角 [例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线
解:作 ∵ α∥β∥γ，∴
因此，A1B1是α与β平面间的距离，B1C1是β与γ平 ∴ A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12
答：AB= [例6] 如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.
解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE 又∵α∥β，∴ AF∥BE 同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补 由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE= 由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD= 又∵△ACF的面积为72，即 S = 答：△BDE的面积为84平方单位. [例7]如图，B为
（1）求证：平面MNG∥平面ACD （2）求S 解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H
∵ M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心， 则有： 连结PF、FH、PH有MN∥PF 又PF ∴ MN∥平面ACD 同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M ∴ 平面MNG∥平面ACD. （2）由（1）可知： ∴MG= ∴MG= 同理：NG= ∴ △MNG∽△ACD，其相似比为1：3 ∴S
[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.
(1)求证：EFGH是矩形. (2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大. (1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF 同理HG∥CD.∴EF∥HG 同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形 由CD∥EF，HE∥AB ∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角， 又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形. (2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n ∴ 由HE∥AB ∴ 又∵四边形EFGH为矩形 ∴S矩形EFGH＝HE·EF＝ ∵m＋n≥2 ∴ S矩形EFGH=
点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.
四、典型习题导练
1. 山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米． 2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．
3. 在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．
4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°. 求证：平面ABC⊥平面BSC. 5. 已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.
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，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式
,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果
”；方法三：公式
角的截面面积是_____.
.用面积射影公式求解：S底=
S截=
.
.
是边长为4的正方形
