分享

§6.3平面与平面之间的位置关系 一、基础知识导学 1.空间两个平面的位置关系(有交点的是相交;没交点的是平行). 2.理解并掌握空间两个平面平行的定义;掌握空间两个平面平行判定定理

 昵称3826483 2013-12-08

§6.3平面与平面之间的位置关系

 §6.3平面与平面之间的位置关系

 

一、基础知识导学

 

1.空间两个平面的位置关系(有交点的是相交;没交点的是平行).

2.理解并掌握空间两个平面平行的定义;掌握空间两个平面平行判定定理(如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行)和性质定理(如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行).

3.理解并掌握空间两个平面垂直的定义(一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直);判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直)和性质定理(如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面).

4.二面角的有关概念(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角)与运算;二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角),二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).

 

二、疑难知识导析

 

1.两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.

2.面面平行也是推导线面平行的重要手段;还要注意平行与垂直的相互联系,如:如果两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;如果两条直线都垂直于一个平面,则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.

3.对于命题“三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.

4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.

5.注意二面角的范围是,找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线,这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一:补充棱;方法二:利用“如果”;方法三:公式等,求二面角中解三角形时注意垂直(直角)、数据在不同的面上转换.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α,β,则α+β满足(    ).

A.α+β<900    B.α+β≤900   C.α+β>900  D.α+β≥900

错解:A.

错因:忽视直线与二面角棱垂直的情况.

正解:B.

[例2].如图,△ABC是简易遮阳棚,A,B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角应为(   ).

A.90°       B.60°      C.50°       D.45°

错解:A.

正解:C

[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10,高是12,过底面一边AB,作与底面ABC成角的截面面积是_____.

错解.用面积射影公式求解:S=S截=.

错因:没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.

正解.

 [例4]是边长为4的正方形的中心,点分别是的中点.沿对角线把正方形折成直二面角D-AC-B.

(1)求的大小;

(2)求二面角的大小.

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.

正解:(1)如图,过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点F作FH⊥AC,垂足为H,则

因为二面角D-AC-B为直二面角,

 

又在中,

. 

(2)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM.

二面角D-AC-B为直二面角,∴平面DAC⊥平面BAC,交线为AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得EM⊥OF.

就是二面角的平面角.

在RtEGM中,

.∴

所以,二面角的大小为

 [例5]如图,平面α∥平面β∥平面γ,且β在α、γ之间,若α和β的距离是5,β和γ的距离是3,直线和α、β、γ分别交于A、B、C,AC=12,则AB=      ,BC=        .

解:′⊥α,

∵ α∥β∥γ,∴ ′与β、γ也垂直,

′与α、β、γ分别交于A1、B1、C1.

因此,A1B1是α与β平面间的距离,B1C1是β与γ平
面间的距离,A1C1是α与γ之间的距离.  

∴ A1B1=5,B1C1=3,A1C1=8,又知AC=12

AB= ,BC= .

答:AB= ,BC= .

[6] 如图,线段PQ分别交两个平行平面α、β于AB两点,线段PD分别交α、β于CD两点,线段QF分别交α、β于FE两点,若PA9AB12BQ12,△ACF的面积为72,求△BDE的面积.

:∵平面QAF∩α=AF,平面QAF∩β=BE

又∵α∥β,∴ AFBE

同理可证:ACBD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补

FABE,得:BEAFQBQA122412,∴BE= 

BDAC,得:ACBDPAPB92137,∴BD= 

又∵△ACF的面积为72,即 72

S=

=,

答:△BDE的面积为84平方单位.

 [7]如图,BACD所在平面外一点,MNG分别为ABCABDBCD的重心.

1)求证:平面MNG∥平面ACD

2)求SS

:1)连结BMBNBG并延长交ACADCD分别于PFH

∵ MNG分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,

则有:

连结PFFHPHMNPF

PF 平面ACD

∴ MN∥平面ACD

同理:MG∥平面ACDMGMNM

∴ 平面MNG∥平面ACD.

2)由(1)可知:

MG=,又PH=

MG= 

同理:NG=

∴ △MNG∽△ACD,其相似比为13

SS= 19

 

[例8]如图,平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求证:EFGH是矩形.

(2)求当点E在什么位置时,EFGH的面积最大.

(1)证明:∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD=EF.∴CD∥EF

同理HG∥CD.∴EF∥HG

同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形

由CD∥EF,HE∥AB

∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角,

又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.

(2):由(1)可知在△BCD中EF∥CD,其中DE=m,EB=n

由HE∥AB

又∵四边形EFGH为矩形

∴S矩形EFGH=HE·EF=·b·a=ab

∵m+n≥2,∴(m+n)2≥4mn

,当且仅当m=n时取等号,即E为BD的中点时,

S矩形EFGH=ab≤ab,

*    矩形EFGH的面积最大为ab.

点评:求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.

 

四、典型习题导练

 

1. 山坡面α与水平面成30°的角,坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角,沿公路向上去1公里时,路基升高_____米.

2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,且PA=AB,则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____.

 

3. 在60°二面角的棱上,有两个点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段.已知:AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD长.

4.如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.

  求证:平面ABC⊥平面BSC.

5. 已知:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的度数.

一、基础知识导学

 

1.空间两个平面的位置关系(有交点的是相交;没交点的是平行).

2.理解并掌握空间两个平面平行的定义;掌握空间两个平面平行判定定理(如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行)和性质定理(如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行).

3.理解并掌握空间两个平面垂直的定义(一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直);判定定理(如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直)和性质定理(如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面).

4.二面角的有关概念(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角)与运算;二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角),二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).

 

二、疑难知识导析

 

1.两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.

2.面面平行也是推导线面平行的重要手段;还要注意平行与垂直的相互联系,如:如果两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;如果两条直线都垂直于一个平面,则这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.

3.对于命题“三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.

4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.

5.注意二面角的范围是,找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线,这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进行交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一:补充棱;方法二:利用“如果”;方法三:公式等,求二面角中解三角形时注意垂直(直角)、数据在不同的面上转换.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α,β,则α+β满足(    ).

A.α+β<900    B.α+β≤900   C.α+β>900  D.α+β≥900

错解:A.

错因:忽视直线与二面角棱垂直的情况.

正解:B.

[例2].如图,△ABC是简易遮阳棚,A,B是南北方向上两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角应为(   ).

A.90°       B.60°      C.50°       D.45°

错解:A.

正解:C

[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10,高是12,过底面一边AB,作与底面ABC成角的截面面积是_____.

错解.用面积射影公式求解:S=S截=.

错因:没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.

正解.

 [例4]是边长为4的正方形的中心,点分别是的中点.沿对角线把正方形折成直二面角D-AC-B.

(1)求的大小;

(2)求二面角的大小.

错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.

正解:(1)如图,过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点F作FH⊥AC,垂足为H,则

因为二面角D-AC-B为直二面角,

 

又在中,

. 

(2)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM.

二面角D-AC-B为直二面角,∴平面DAC⊥平面BAC,交线为AC,又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面BAC.∵GM⊥OF,由三垂线定理,得EM⊥OF.

就是二面角的平面角.

在RtEGM中,

.∴

所以,二面角的大小为

 [例5]如图,平面α∥平面β∥平面γ,且β在α、γ之间,若α和β的距离是5,β和γ的距离是3,直线和α、β、γ分别交于A、B、C,AC=12,则AB=      ,BC=        .

解:′⊥α,

∵ α∥β∥γ,∴ ′与β、γ也垂直,

′与α、β、γ分别交于A1、B1、C1.

因此,A1B1是α与β平面间的距离,B1C1是β与γ平
面间的距离,A1C1是α与γ之间的距离.  

∴ A1B1=5,B1C1=3,A1C1=8,又知AC=12

AB= ,BC= .

答:AB= ,BC= .

[6] 如图,线段PQ分别交两个平行平面α、β于AB两点,线段PD分别交α、β于CD两点,线段QF分别交α、β于FE两点,若PA9AB12BQ12,△ACF的面积为72,求△BDE的面积.

:∵平面QAF∩α=AF,平面QAF∩β=BE

又∵α∥β,∴ AFBE

同理可证:ACBD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补

FABE,得:BEAFQBQA122412,∴BE= 

BDAC,得:ACBDPAPB92137,∴BD= 

又∵△ACF的面积为72,即 72

S=

=,

答:△BDE的面积为84平方单位.

 [7]如图,BACD所在平面外一点,MNG分别为ABCABDBCD的重心.

1)求证:平面MNG∥平面ACD

2)求SS

:1)连结BMBNBG并延长交ACADCD分别于PFH

∵ MNG分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心,

则有:

连结PFFHPHMNPF

PF 平面ACD

∴ MN∥平面ACD

同理:MG∥平面ACDMGMNM

∴ 平面MNG∥平面ACD.

2)由(1)可知:

MG=,又PH=

MG= 

同理:NG=

∴ △MNG∽△ACD,其相似比为13

SS= 19

 

[例8]如图,平面EFGH分别平行于CD、AB,E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求证:EFGH是矩形.

(2)求当点E在什么位置时,EFGH的面积最大.

(1)证明:∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD=EF.∴CD∥EF

同理HG∥CD.∴EF∥HG

同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形

由CD∥EF,HE∥AB

∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角,

又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.

(2):由(1)可知在△BCD中EF∥CD,其中DE=m,EB=n

由HE∥AB

又∵四边形EFGH为矩形

∴S矩形EFGH=HE·EF=·b·a=ab

∵m+n≥2,∴(m+n)2≥4mn

,当且仅当m=n时取等号,即E为BD的中点时,

S矩形EFGH=ab≤ab,

*    矩形EFGH的面积最大为ab.

点评:求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.

 

四、典型习题导练

 

1. 山坡面α与水平面成30°的角,坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角,沿公路向上去1公里时,路基升高_____米.

2. 过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,且PA=AB,则平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____.

 

3. 在60°二面角的棱上,有两个点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段.已知:AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD长.

4.如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°.

  求证:平面ABC⊥平面BSC.

5. 已知:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的度数.

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息,谨防诈骗。如发现有害或侵权内容,请点击一键举报。
    转藏 分享 献花(0

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多