点、直线和圆锥曲线

点、直线和圆锥曲线

 

一、知识导学　

 

1．  点M(x₀，y₀)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

已知（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂, （a＞0,b＞0）

的焦点为F₁、F₂，(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x₀，y₀)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：

上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．

2．直线∶Ax＋B＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

设直线:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由

消去y(或消去x)得:ax²+bx+c=0,△=b²-4ac,（若a≠0时），

△＞0相交      △＜0相离      △= 0相切

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

 

二、疑难知识导析　

 

1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率。 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：  （其中分别是椭圆的下上焦点）.

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关  可以记为：左加右减，上减下加.

2．双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.

焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：

        （ 其中分别是双曲线的下上焦点）

3．双曲线的焦点弦：

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。

焦点弦公式：

当双曲线焦点在x轴上时，

过左焦点与左支交于两点时： ；

过右焦点与右支交于两点时：。

当双曲线焦点在y轴上时，

过左焦点与左支交于两点时：；

过右焦点与右支交于两点时：。

4．双曲线的通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦  .

5．直线和抛物线

（1）位置关系：

相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）.

联立，得关于x的方程

当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）；

当，则

若，两个公共点（交点）；

，一个公共点（切点）；

，无公共点  （相离）.

（2）相交弦长：

弦长公式：.

（3）焦点弦公式：

抛物线， .

抛物线， .

抛物线， .

抛物线，.

（4）通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦  通径：.

（5）常用结论：

和

和.

 

三、经典例题导讲　

 

[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.

错解： 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为

，消去得整理得 

直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为

正解：  ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，

令解得k = ,∴ 所求直线为

综上，满足条件的直线为：

[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.

错解：曲线C：可化为①，联立，得：

，由Δ＝0,得.

错因：方程①与原方程并不等价，应加上.

正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.

注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.

[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.

错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.

（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：

∴，又∵ ∴

解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的.

正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.

[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.

解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),

   设 P ( x, y ),  C ( ) ,  则 D (),

   由A、C、P三点共线得     ①

   由D、B、P三点共线得      ②

①×② 得              ③

又 ,   ∴，  代入③得 ，

即点P在双曲线上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、

F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2  (即此双曲线的实轴长为定值).

[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.

解：设所求椭圆的方程为=1.

　　依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：

　　  

　　将②代入①，整理得

　　    ，                   ③

设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为

P(,+1)，Q(,+1)

　　由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　　 

　　整理得

　　 

　　解这个方程组，得

  或  

　　根据根与系数的关系，由③式得

　　  (1)  或  (2)

　　解方程组(1)、(2)得

　    　  或

　　故所求椭圆方程为

　=1 ，  或 =1.

[例6]（06年高考湖南）已知椭圆C₁：＝1，抛物线C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点。（1）当AB⊥轴时，求、的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；（2）若＝，且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.

解：（1）当AB⊥轴时，点A、B关于轴对称，所以＝0，直线AB的方程为＝1，

　从而点A的坐标为（1，）或（1，－），

　因为点A在抛物线上，所以，＝.

　此时，抛物线C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

(1)  当抛物线C₂的焦点在直线AB上时，由（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为　.

(2) 

　由消去得　　　　①

设A、B的坐标分别为　（）、（）.

则，是方程①的两根，＋＝.

因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是C₂的焦点的弦，

所以｜AB｜＝（2－）＋（2－）＝4－，且

｜AB｜＝（）＋（）＝＝.

从而＝4－

所以，即

解得.

因为C₂的焦点F^、（）在直线上，所以，

即

当时直线AB的方程为；

当时直线AB的方程为.

 

四、典型习题导练　

 

1．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：y=2x+1截得的弦长为，则抛物线方程为          

2.直线m：y=kx+1和双曲线x²－y²=1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2，0）和线段AB的中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为            

3．

试求m的取值范围.

4． 设过原点的直线l与抛物线y²=4(x－1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，

    （1）求直线l的方程；

    （2）求|AB|的长.

5． 如图，过抛物线y²=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN与x轴交点的坐标；(2)求MN中点的轨迹方程.

9．设曲线C的方程是y＝x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C₁.

　　(1)写出曲线C₁的方程；

　　(2)证明曲线C与C₁关于点A()对称；

　　(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s＝且t≠0