2011年高考分类汇编之解析几何（八）

2011年高考分类汇编之解析几何（八）

辽宁文

 

13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．

 

全国Ⅰ理

 

（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为                                                   B

（A）       （B）           （C）2           （D）3

（9）曲线，直线及轴所围成的图形的面积为                C

（A）    （B）4   （C）    （D） 6

（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为      。

（20）（本小题满分12分）

 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

(20）解：

  (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).

所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).

再由题意可知（+）?=0, 即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=x-2.

(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x

因此直线的方程为，即。

则O点到的距离.又，所以

当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．

（I）求的方程；

（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．

（23）解：（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C₁上，所以

 即 从而的参数方程为（为参数）

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为。所以.

 

全国Ⅰ文

 

（4）椭圆的离心率为                                                   D

（A）    （B）   （C）   （D）

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．

(20）解：

       （Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（

故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.

则圆C的半径为所以圆C的方程为

（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：

消去y，得到方程

由已知可得，判别式

因此，从而          ①

由于OA⊥OB，可得又所以

    ②；由①，②得，满足故

 

山东理

 

8.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为

(A)    (B)     (C)       (D)

【答案】A

【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.

22.（本小题满分14分）

已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.

（Ⅰ）证明和均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

【解析】22．（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，

所以因为在椭圆上，因此           ①

又因为所以②；由①、②得

此时

   （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由题意知m，将其代入，得，

其中即             …………（*）

又

所以

因为点O到直线的距离为所以

，又

整理得且符合（*）式，

此时

综上所述，结论成立。

  （II）解法一：

   （1）当直线的斜率存在时，由（I）知

因此

   （2）当直线的斜率存在时，由（I）知

所以

所以，当且仅当时，等号成立.

综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为

解法二：

因为

 

所以

即当且仅当时等号成立。

因此 |OM|·|PQ|的最大值为

   （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得

证明：假设存在，

由（I）得

因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.