聚焦高考数列考点

聚焦高考数列考点

──浅谈数学数列备考

青海民族大学数学与统计学院　夏文涛

数列是高中数学的重要内容，在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考查内容之一。2010年高考数学试题，继续体现“稳中微变，创新发展”命题思路，命题坚持以稳定为主，注意适度创新，做到“命题突出数学学科的特点，对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重文理差异，注重知识内在联系的考查，注重对中学教学中所蕴涵的数学思想和方法的考查。”

 

为了在高考中取得好成绩，考生首先必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，同时必须了解近几年来高考中数列试题的能力考查特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决高考数列问题的能力。笔者结合自己高考备考教学实践，认真剖析该部分重要高考考点，并从最近5年高考试卷中精选数列考点经典试题，对每一个考点都提供常见实用的做题方法（即通性通法），力求对高考备考的学子有所裨益。

 

考点1: 数列的基本概念

 

数列的基本概念包括理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根递推公式据写出数列的前几项，理解等差数列的概念，理解等比数列的概念。

 

数列的基本概念在近5年的高考中基本上在选择题、填空题中考查，主要考查等差数列和等比数列的概念及其应用。在近5年高考试题中，对数列的基本概念的考查形式多样、考查方式较灵活、内容较综合，要求考生在认真审题的基础上，充分观察和想象，然后利用所学知识解决新情景下的数列试题。

 

1（2009湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是（  ）

A.289                B.1024             C.1225               D.1378

 

解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C。 

 

答案： C

 

评注：数列的基本概念类型的试题重在基本概念，重在观察类比，考生应该把此类实际问题转换成数学数列问题，然后借助所学知识解决。

 

考点2 : 数列的通项公式

   

高考数列的通项公式考点包括：①、等差数列通项公式，②、等比数列通项公式，③、给出递推公式，求通项公式。其中①、②主要是考查基本量问题 ，在等差(比)数列中，常会在首项a1，第n项an，项数n，公差(比)d (q) ，前n项和Sn之间，给出一些已知条件，从而得出这五个量之间的某些关系，可以求出其他的一些量。③一般在解答题中考查，此类考题较难，常常作为压轴题。考虑到文理科的差异，文、理数学卷稍有区别，文科数学解答题常考等差、等比数列综合题，而理科数学解答题常常考递推公式类题。

 

（Ⅰ）最近5年全国高考等差数列、等比数列通项公式经典真题精析

   

从近5年全国高考试题来看，等差、等比数列部分基本量问题考查较多。数列中项类型题目的考查也尤为频繁，连续几年都不间断考查，考生在复习备考一定要注意两点：①、当是奇数时，等差中项在解决问题的妙用，即，②、若m+n=p+q，则a_n+a_m=a_p+a_q (m，n，p，q∈N⁺)；等比中项类型题目也尤为频繁，此类题目一定要注意正负问题，做好取舍是关键。值得一提的是，由国家考试中心命制的2010年全国卷I、II分别考查了等比中项、等差中项，足见中项之热。另外等差、等比数列的小综合题也时有出现，要引以足够的重视。

 

2（2010全国卷II）如果等差数列中，++=12，那么++…+=（  ）

（A）14     (B) 21      (C) 28        (D) 35 

 

解析：观察到是、中项，有等差中项性质得，由等差中项在解决（要求是奇数）的妙用，， 

 

答案： C

 

评注：数列的基本概念类型的试题重在基本概念，重在观察类比，考生应该把此类实际问题转换成数学数列问题，然后借助所学知识解决。

 

3（2010全国卷I）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=( )

   (A)     (B) 7     (C) 6      (D)

 

解析：由等比数列的性质、等比中项的性质知:，

10，所以，

所以

 

评注:本题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，如果在 高考复习中对等比中项相当熟悉，那么解决此题易如反掌。

 

4（2010全国卷II文）已知是各项均为正数的等比数列，且，

（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）略。

 

解：（I）设公比为q，则，由已知有

    化简得

由所以  

 

评注: 本题是等比数列通项公式问题，体现高考的“文理差异”，此题式子的呈现形式很美，但也给计算能力稍弱的文科考生带来麻烦，只要认真计算，肯定能拿满分。

 

（II）最近5年全国高考给出递推公式求通项公式经典真题精析

   

给出递推公式求通项公式是高考数列解答题的常见形式，往往是数列压轴题的第一小 题。此类题目思维难度较大，但解决方法一般不唯一，为了降低难度，让不同层次的考生得到应得的分数，往往都给了相关的提示，考生只需合理利用好提示，就能顺利解答。用好提示，构造等差、等比数列，是解决最近几年高考此类试题的基本方法和思路。

 

5（2009全国卷II理）设数列的前 n项和为，已知

（Ⅰ）设

（Ⅱ）求数列{a}的通项公式

 

解：（Ⅰ）由=  ，有，两式相减得

变形为，即，（n2） 由=，得，于是所以数列是首项为3，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）由（1）得，即，所以，且于是是首项为，公差为的等差数列，所以，所以

 

考点3: 数列的求和 

 

数列的求和考点包括：①、等差数列求和，②、等比数列求和，②、给出递推公式，先求通项公式，再求和。通项公式是数列求和的基础和前提，其中①、②主要是考查基本量问题，注意数列求和思想方法，特别是公式的使用条件，③一般在解答题中考查，此类考题较难，常常作为压轴题。高考中求和常考查裂项求和、等比乘等差类型求和、对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。

 

从最近5年高考试题来看，倒序相加法、错位相减法等基本的求和方法也时常考查，

等差乘等比类型数列的求和考查十分频繁，而此类型试题来源于课本单元总复习B组题，足见在高考备考中课本的复习的重要性。

 

（Ⅰ）最近5年全国高考等差数列、等比数列求和经典真题精析

 

6（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=(     )

A.7          B.8          C.15           D.16

 

解析：本题是等差、等比数列的小综合题，要求考生具备熟练运用基本公式求答的能力。

4，2，成等差数列，

 。答案： C

 

（II）最近5年全国高考给出递推公式求和经典真题精析

 

7（2009全国卷Ⅰ理）在数列中，

（I）设，求数列的通项公式

（II）求数列的前项和

 

解 ：（I）略。（II）由（I）知，=

而，又是一个等差乘模等比型，方法是错位相减法，

易得 =_.

 

考点4: 数列函数不等式综合

 

最近五年来，数列在很多高考试卷中常常作为压轴题，题目形式多是在递推公式基础上，要求考生先求出通项公式或先猜想、再用数学归纳法证明，然后在考查数列函数不等式的综合。解决数列函数不等式的综合，常常的方法有：数学归纳法、构造函数、不等式放缩法等。此类试题难度较大，为基本不得分题目，考生要在平时的复习备考中留心，并在练习中认真体会，争取突破此难点。数列、函数和不等式综合题，主要考查考生推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。数学归纳法是研究数列的有力工具，应该在平时的复习备考中留心，并在练习中认真体会。

 

8（2010全国卷II理）已知数列的前项和．

   （Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．

 

解：（I）            

所以                                                     

   （II）当n=1时，

   当时，

       

=所以，当

 

评注：本题是数列、极限、不等式综合题，数列大题中出现数列极限在近年全国卷中出现尚属首次，考生要高度重视；本题（Ⅰ）要运用，本题（II）除了用答案所给方法外，还可以用数学归纳法证明，留给考生自己练习。

 

9（2008全国卷I）设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

（Ⅰ）（Ⅲ）证明:（略)

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

 

（ⅱ）假设当时，成立，即_，

那么当时，由在区间是增函数，得，

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

 

评注：数学归纳法是解决数列函数不等式综合题的常用方法，理科数学考试大纲中要求理考生能数学归纳法证明一些简单的数学命题，考生在平时考试中要注意运用体会，认真总结方法，力争高考出现此类试题能够拿到理想的分数。

 

    高考遵循一定的命题规律，高考试题具有一定的连续性、稳定性，同时也在适度地创新发展，最近5年的高考体现的特点是稳中微变，创新发展。作为一名高考生，应该必须适度研究高考，特别重视历年的高考真题，大做特做高考题。在做高考真题中体会高考，领会高考的命题思想，巩固数学基础知识；这样，在平时复习中，扎扎实实搞基础，老老实实做真题，避免陷入模考、大考的题海中，努力做到把平时当高考，那么就会在高考时，你就会把高考当平时，以一个平常心答完人生的大考卷。

   

数列是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考查内容。在最后100多天的高考备考复习中，一方面、我们要更进一步牢牢抓住“两纲一本”，研读高考考试大纲和高中数学课程标准，明确高考考试的内容和方向；另一方面、熟读高中的数学课本，掌握好基础知识、基本技能、基本方法。根据考纲的要求，找到自己的不足和缺陷，在平时的复习和考试中，逐一解决，这样就能避免不必要的重复性的复习，提高了复习备考效率。只要我们对自己充满信心，把握住数列部分的基础知识、基本方法、基本技能，再适当的做一些有针对性的训练题，认真做好反思总结，那么我们一定会在高考数列部分大获全胜。