2007年高考数学试题汇编——立体几何（四）

2007年高考数学试题汇编——立体几何（四）

　　31．（福建?理?18题）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

 

　　（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；

 

　　（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；

 

　　（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；

 

　　　　　　　

 

　　【解答】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

 

　　解法一：（Ⅰ）取中点，连结．

 

　　　　　　　

 

　　为正三角形，．

 

　　正三棱柱中，平面平面，

 

　　平面．

 

　　连结，在正方形中，分别为

 

　　的中点，

 

　　，

 

　　．

 

　　在正方形中，，

 

　　平面．

 

　　（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．

 

　　，

 

　　为二面角的平面角．

 

　　在中，由等面积法可求得，

 

　　又，

 

　　．

 

　　所以二面角的大小为．

 

　　（Ⅲ）中，，．

 

　　在正三棱柱中，到平面的距离为．

 

　　设点到平面的距离为．

 

　　由得，

 

　　．

 

　　点到平面的距离为．

 

　　解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

 

　　为正三角形，．

 

　　在正三棱柱中，平面平面，

 

　　平面．

 

　　取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

 

　　　　　　　　　

 

　　，，．

 

　　，，

 

　　，．

 

　　平面．

 

　　（Ⅱ）设平面的法向量为．

 

　　，．

 

　　，，

 

　　

 

　　令得为平面的一个法向量．

 

　　由（Ⅰ）知平面，

 

　　为平面的法向量．

 

　　，．

 

　　二面角的大小为．

 

　　（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，

 

　　       ．

 

　　       点到平面的距离．

 

　　32．（广东?理?19题）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记BE＝x，V(x)表示四棱锥P－ACFE的体积。

 

　　（Ⅰ）求V(x)的表达式；

 

　　（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？

 

　　（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值；

 

　　　　　　　　　

 

　　【解答】（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，

 

　　V(x)=（）

 

　　（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；

 

　　（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，

 

　　，

 

　　在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；

 

　　33．（湖北?理?18题）如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ。

 

　　（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD ；

 

　　（Ⅱ）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；

 

　　　　　　　　　　　

 

　　【解答】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

 

　　解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，

 

　　，又底面．．于是平面．

 

　　又平面，平面平面．

 

　　（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．

 

　　　　　　　　　　

 

　　在中，；

 

　　设，在中，，．

 

　　，

 

　　，．

 

　　又，．

 

　　即直线与平面所成角的取值范围为．

 

　　解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

　　　　　　则，

 

　　　　　　　　

 

　　于是，，，．

 

　　从而，即．

 

　　同理，

 

　　即．又，平面．

 

　　又平面．

 

　　平面平面．

 

　　（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

 

　　则由．

 

　　得

 

　　可取，又，

 

　　于是，

 

　　，，．

 

　　又，．

 

　　即直线与平面所成角的取值范围为．

 

　　解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

　　　则，，

　　　于是，，．

 

　　　　　　　　　　

 

　　从而，即．

 

　　同理，即．

 

　　又，平面．

 

　　又平面，

 

　　平面平面．

 

　　（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，

 

　　则由，得

 

　　可取，又，

 

　　于是，

 

　　，，．

 

　　又，，

 

　　即直线与平面所成角的取值范围为．

 

　　解法4：以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

　　　则．设．

 

　　　　　　　

 

　　（Ⅰ），

 

　　，

 

　　即．

 

　　，

 

　　即．

 

　　又，平面．

 

　　又平面，平面平面．

 

　　（Ⅱ）设直线与平面所成的角为，

 

　　设是平面的一个非零法向量，

 

　　则取，得．

 

　　可取，又，

 

　　于是，

 

　　，关于递增．，．

 

　　即直线与平面所成角的取值范围为．