2007年高考数学试题汇编——立体几何（七）

2007年高考数学试题汇编——立体几何（七）

　　40．（上海?理?16题）体积为1的直三棱柱中，，，求直线与平面所成角。

 

　　【解答】法一： 由题意，可得体积，

 

　　．连接． ，

 

　　　　　　

 

　　平面，

 

　　是直线与平面所成的角．

 

　　，，

 

　　则 ＝．即直线与平面所成角的大小为．

 

　　法二： 由题意，可得

 

　　    体积，

 

　　    ，

 

　　如图，建立空间直角坐标系． 得点，，． 则，

 

　　　　　　　　

 

　　平面的法向量为．

 

　　    设直线与平面所成的角为，与的夹角为，      

 

　　    则，  ，

 

　　    即直线与平面所成角的大小为．

 

　　41．（四川?理?19题）如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.

 

　　（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

 

　　（Ⅱ）求二面角的大小；

 

　　（Ⅲ）求三棱锥的体积；

 

　　　　　　　　　

 

　　【解答】本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。

 

　　解法一：

 

　　（Ⅰ）∵

 

　　∴，

 

　　又∵

 

　　∴

 

　　（Ⅱ）取的中点，则，连结，

 

　　∵，∴，从而

 

　　作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，

 

　　从而为二面角的平面角

 

　　直线与直线所成的角为

 

　　∴

 

　　在中，由余弦定理得

 

　　在中，

 

　　在中，

 

　　在中，

 

　　故二面角的平面角大小为

 

　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形

 

　　∴

 

　　解法二：（Ⅰ）同解法一

 

　　（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

 

　　　　　　　　　　　

 

　　由题意有，设，

 

　　则

 

　　由直线与直线所成的解为，得

 

　　，即，解得

 

　　∴，设平面的一个法向量为，

 

　　则，取，得

 

　　平面的法向量取为

 

　　设与所成的角为，则

 

　　显然，二面角的平面角为锐角，

 

　　故二面角的平面角大小为

 

　　（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离

 

　　∵，∴

 

　　42．（天津?理?19题）如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

 

　　（Ⅰ）证明；

 

　　（Ⅱ）证明平面；

 

　　（Ⅲ）求二面角的大小；

 

　　　　　　　　　

 

　　【解答】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

 

　　（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．

 

　　，平面．

 

　　而平面，．

 

　　（Ⅱ）证明：由，，可得．

 

　　是的中点，．

 

　　由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

 

　　而平面，．

 

　　底面在底面内的射影是，，．

 

　　又，综上得平面．

 

　　（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

 

　　　　　　　　　

 

　　因此是二面角的平面角．

 

　　由已知，得．设，

 

　　可得．

 

　　在中，，，

 

　　则．

 

　　在中，．

 

　　所以二面角的大小是．

 

　　解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．

 

　　过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．

 

　　　　　　　　　

 

　　由已知，可得，设，

 

　　可得．

 

　　，．

 

　　于是，．

 

　　在中，．

 

　　所以二面角的大小是．

 

　　43．（浙江?理?19题）在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点。

 

　　（Ⅰ）求证：；

 

　　（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角；

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　【解答】分析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．

 

　　方法一：

 

　　（I）证明：因为，是的中点，

 

　　所以．

 

　　又平面，

 

　　所以．

 

　　（II）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，．

 

　　　　　　　　　　　　　

 

　　是直线和平面所成的角．

 

　　因为平面，

 

　　所以，

 

　　又因为平面，

 

　　所以，

 

　　则平面，因此．

 

　　设，，

 

　　在直角梯形中，

 

　　，是的中点，

 

　　所以，，，

 

　　得是直角三角形，其中，

 

　　所以．

 

　　在中，，

 

　　所以，

 

　　故与平面所成的角是．

 

　　方法二：

 

　　如图，以点为坐标原点，以，分别为轴和轴，过点作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，．，．

 

　　（I）证明：因为，，

 

　　所以，

 

　　故．

 

　　（II）解：设向量与平面垂直，则，，

 

　　　　　　　　　　　　

 

　　即，．

 

　　因为，，

 

　　所以，，

 

　　即，

 

　　，

 

　　直线与平面所成的角是与夹角的余角，

 

　　所以，

 

　　因此直线与平面所成的角是．