2007年高考数学试题汇编——三角函数（四）

2007年高考数学试题汇编——三角函数（四）

　　49、（江西理18）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．

 

　　（1）求和的值；

 

　　（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

 

　　　　　　　　　

 

　　解：（1）将，代入函数得，

 

　　因为，所以．

 

　　又因为，，，所以，

 

　　因此．

 

　　（2）因为点，是的中点，，

 

　　所以点的坐标为．

 

　　又因为点在的图象上，所以．

 

　　因为，所以，

 

　　从而得或．

 

　　即或．

 

　　50、（全国卷1理17）设锐角三角形的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．

 

　　解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

 

　　由为锐角三角形得．

 

　　（Ⅱ）

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　由为锐角三角形知，

 

　　，．

 

　　，

 

　　所以．

 

　　由此有，

 

　　所以，的取值范围为．

 

　　51、（全国卷2理17）在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．

 

　　解：（1）的内角和，由得．

 

　　       应用正弦定理，知

 

　　       ，

 

　　       ．

 

　　       因为，

 

　　       所以，

 

　　       （2）因为

 

　　                        ，

 

　　       所以，当，即时，取得最大值．

 

　　52、（山东理20）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

 

　　　　　　　　　　　

 

　　解法一：如图，连结，由已知，

 

　　　　　　　　　　

 

　　，

 

　　，

 

　　又，

 

　　是等边三角形，

 

　　，

 

　　由已知，，

 

　　，

 

　　在中，由余弦定理，

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　．

 

　　因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．

 

　　答：乙船每小时航行海里．

 

　　解法二：如图，连结，由已知，，，

 

　　　　　　　　　

 

　　

 

　　

 

　　，

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　在中，由余弦定理，

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　．

 

　　由正弦定理

 

　　，

 

　　，即，

 

　　．

 

　　在中，由已知，由余弦定理，

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　，

 

　　乙船的速度的大小为海里/小时．

 

　　答：乙船每小时航行海里．