2011届安徽高三“三校”联考第二次考试数学试题（理）

2011届安徽高三“三校”联考第二次考试数学试题（理）

一、选择题：（本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.若集合则A∩B是（    ）

  A.     B.     C.     D.高.考.资.源.网

2．已知是虚数单位，复数Z与复平面内的点(2，-1)对应，则复数对应的点在（    ）

A．第一象限       B．第二象限       C．第三象限        D．第四象限

3．函数在定义域内零点的个数为 (    )

A．0                  B．1                     

C．2                   D．3

4．已知平面，，直线，直线，有下面四个命题：

 ①若∥,_则     ② 若∥,_则       

③若_则      ④若,_则∥

 其中正确的命题是（    ）

 A．①与②   B．③与④  C．①与③   D．②与④

5．如果执行下面的程序框图，那么输出的（    ）

          

A.96      B.120         C.144        D.300

6．已知数列{}为等比数列,是它的前n项和,若,且与2的等差中项为,则=(    )

A．31           B．33          C．35          D．29

7.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，且f(1)<f(lgx)，则x的取值范围是（    ）

A .(-∞,-1)∪(1, +∞)                    B.(0,)∪(10, +∞)

C .( ,1)∪(1, 10)                     D.( ,1)∪(10, +∞)

 

8. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为(     )

　　　　　　　　　

9．现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书．若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读， 则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为（    ）

A．           B．           C．                    D．

10．已知菱形ABCD与椭圆C：相切，则菱形ABCD面积的最大值为（    ）

    A．          B．          C．           D．

二、填空题：（本大题共小题，每小题分，共分.把答案填在答题卡中相应的横线上）

11．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是__________

12．设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为___________.

13. 年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如下图，在坡度为的观礼台上，某一列座位所在直线与旗杆所在直线共面，在该列的第一个座位和最后一个座位测得旗杆顶端的仰角分别为和，且座位、的距离为米，则旗杆的高度为         米． 

　　　　　　　　　　　　

 

14.已知函数的图像如图所示，若阴影部分的面积是2，则函数的解析式是___________.

　　　　　　　　　　　

 

15．给出下列命题：

①若命题“对任意实数”的否定是真命题，则的范围是.

②展开式中，含项的系数是-160.

③已知函数为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为的最小值为，则的值为2，的值为.

④底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

⑤曲线：（为参数），若以点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是.

其中正确的命题是          （把所有正确的命题的选项都填上）

三、解答题：（本大题共小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分12分）

如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交与点,与钝角的终边交于点,设.

(1) 用表示;

(2) 如果,求点的坐标；

(3) 求的最小值.

　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17．（本小题满分12分）

如图1，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图2），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

（Ⅰ）求两点间的距离；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

　　　　　　　　　　

 

18．（本小题满分12分）

某电视台综艺频道主办了一种有奖过关游戏，该游戏设有两关，只有过了第一关，才能玩第二关，每关最多玩两次，连续两次失败者被淘汰出局。过关者可获奖金：只过第一关获奖金900元，两关全过获奖金3600元.某同学有幸参与了上述游戏，且该同学每一关过关的概率均为，各次过关与否均互不影响.在游戏过程中，该同学不会放弃所有机会.

（1）求该同学获得900元奖金的概率；

（2）若该同学已顺利通过第一关，求他获得3600元奖金的概率；

（3）求该同学获得奖金额的数学期望E（精确到元）.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

 

19.（本小题满分13分）

已知数列是等差数列，

（1）判断数列是否是等差数列？并说明理由；

（2）如果，试写出数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当 时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

 

20．（本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

（Ⅱ）设 ，求的内切圆M的方程 .

 

21．(本小题满分14分)

设（e为自然对数的底数）

（I）求p与q的关系；

（II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

（III）证明：

  ①；

②（n∈N，n≥2）

 

参考答案

 

一、选择题：1.D， 2.D ，3.C，4.C， 5 .B， 6.A，7.B，8.C,  9.B,  10.D

二、填空题：11.  ；12．;  13．30  ；14．； 15. ①②③⑤

三、解答题：

16. 【说明】本题考查三角函数的定义、诱导公式、倍角公式，三角函数的图象和性质（基本不等式的应用）.

 解：(1)如图.

（2）由，又,得

.

由钝角，知

（3）【法一】，

又，,

的最小值为.

【法二】为钝角，,

，

,,

的最小值为.

17. 解：（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：

就是二面角的平面角，

在中，

  

（Ⅱ）由，

 

，   又平面．

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，则平面，

就是与平面所成的角．

方法二：设点到平面的距离为，

∵  

  于是与平面所成角的正弦为

．

方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则．

设平面的法向量为n，则

n， n，

取，则n，  于是与平面所成角的正弦即

．

18．解：记“过第一关”为事件A，“第一关第一次过关”为事件，“第一关第二次过关”为事件；“过第二关为事件B”，“第二关第一次过关”为事件，“第二关第二次过关”为事件；

  (1)该同学获得900元奖金，即该同学顺利通过第一关但未通过第二关，则所求概率为

           P(A)=

      (2)该同学通过第一关的概率为

           P(A)=

        该同学通过第一，第二关的概率为：

           P(AB)= ，

       在该同学已顺利通过第一关的条件下，

        他获3600元奖金的概率是

        P=

      (3)该同学获得奖金额可能取值为：0元，900元，3600元，

       

       

       

         

 19．解：（1）设的公差为，则

      

      

      

       数列是以为公差的等差数列

   （2）

      

       两式相减：

      

      

      

      

      

      

      

   （3）因为当且仅当时最大

      

       即

      

 

20．【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.

解：设，，，的方程为.

（Ⅱ）由①知，

      

         因为   ，

      故       ，

解得      

        所以的方程为

               

又由①知   

故直线BD的斜率，

因而直线BD的方程为

因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.

由得，或（舍去），

故   圆M的半径.

所以圆M的方程为.

21．解：（I）由题意

   （II）由（I）知：，

令h(x)=px²－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为单调函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：

h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.

①，

∴g(x)在（0，+∞）单调递减，∴p=0适合题意.

②当p>0时，h(x)=px²－2x+p图象为开口向上抛物线，

称轴为x=∈（0，+∞）.∴h(x)_min=p－.只需p－≥0，即p≥1时h(x)≥0，g′(x) ≥0，∴g(x)在(0,+ ∞)单调递增，∴p≥1适合题意.

③当p<0时，h(x)=px²－2x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+∞），

只需h(0)≤0，即p≤0时h(0)≤（0,+ ∞)恒成立.

∴g′(x)<0 ，∴g(x)在（0,+ ∞）单调递减，∴p<0适合题意.

综上①②③可得，p≥1或p≤0.

   （III）证明：①即证：lnx－x+1≤0  (x>0)，

设.

当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；

当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数；

∴x=1为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(1)=0.

即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.

②由①知lnx≤x－1,又x>0，

∴结论成立.