高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何

高中数学竞赛讲义（十六）

──平面几何

一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）

梅涅劳斯定理  设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则

梅涅劳斯定理的逆定理  条件同上，若则三点共线。

塞瓦定理  设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，则

塞瓦定理的逆定理  设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理  分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是

广义托勒密定理  设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理  设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有

AP²=AB²?+AC²?-BP?PC.

西姆松定理  过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

西姆松定理的逆定理  若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。

九点圆定理  三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。

蒙日定理  三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）

欧拉定理  ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且

二、方法与例题

1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。

例1  在ΔABC中，∠ABC=70⁰，∠ACB=30⁰，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=10⁰，∠PBQ=∠PCB=20⁰，求证：A，P，Q三点共线。

[证明]  设直线CP交AQ于P₁，直线BP交AQ于P₂，因为∠ACP=∠PCQ=10⁰，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有

，②，③④

由②，③，④得。又因为P₁，P₂同在线段AQ上，所以P₁，P₂重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P₁，P₂即为P，所以A，P，Q共线。

2．面积法。

例2  见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。

[证明]  设A点到BE，DF距离分别为h₁,h₂，则

又因为S_◇ABCD=S_ΔADF，又BE=DF。

所以h₁=h₂，所以PA为∠BPD的平分线。

3．几何变换。

例3  （蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。

[证明]  由题设OMAB。不妨设。作D关于直线OM的对称点。

连结，则要证PM=MQ，只需证，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，共圆。

因为∠=180⁰-=180⁰-∠=180⁰-∠。（因为OM。AB//）

所以F，P，M，四点共圆。所以Δ≌ΔMDQ。所以MP=MQ。

例4  平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。

[证明]  在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A₁，B₁，C₁，D₁，E₁，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A₁，B₁，C₁，则ΔABC与ΔA₁B₁C₁都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。

4．三角法。

例5  设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=90⁰，求∠BAC的所有可能的值。

[解]  见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β，

由题设∠FDA=-α，∠BDF=-β，

由正弦定理：，

得，

又由角平分线定理有，又，所以，

化简得，同理，即

所以，所以sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0.

又-π<β-α<π,所以β=α。所以，所以A=π。

5．向量法。

例6  设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.

[证明]  因为

，又G为ΔABC重心，所以

（事实上设AG交BC于E，则，所以）

所以，所以

又因为不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。

6．解析法。

例7  H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。

[解]  以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用(x_k,y_k)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为，直线HL斜率为，直线HL的方程为x(x_P-x_A)+y(y_P-y_A)=0.

又直线HA的斜率为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程为xx_A+yy_A=x_Ax_B+y_Ay_B,②又点C在直线BC上，所以x_Cx_A+y_Cy_A=x_Ax_B+y_Ay_B.

同理可得x_Bx_C+y_By_C=x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_C+y_Ay_C.

又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足①式和②式，所以点X坐标满足xx_P+yy_P=x_Ax_B+y_Ay_B.④同理点Y坐标满足xx_P+yy_P=x_Bx_C+y_By_C.⑤点Z坐标满足xx_P+yy_P=x_Cx_A+y_Cy_A.

由③知④，⑤，⑥表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。

7．四点共圆。

例8  见图16-5，直线l与⊙O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。

[证明]  过O作OCl于C，连结OA，OB，BC，OP，设OP交AB于M，则OPAB，又因为OAPA，OBPB，OCPC。

所以A，B，C都在以OP为直径的圆上，即O，A，P，C，B五点共圆。

AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q，

又因为OPAB，OCCP，

所以P，M，Q，C四点共圆，所以OM?OP=OQ?OC。

由射影定理OA²=OM?OP，所以OA²=OQ?OC，所以OQ=（定值）。

所以Q为定点，即直线AB过定点。

三、习题精选

1．⊙O₁和⊙O₂分别是ΔABC的边AB，AC上的旁切圆，⊙O₁与CB，CA的延长线切于E，G，⊙O₂与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG与FH交于点P，求证：PABC。

2．设⊙O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：E，O，F三点共线。

3．已知两小圆⊙O₁与⊙O₂相外切且都与大圆⊙O相内切，AB是⊙O₁与⊙O₂的一条外公切线，A，B在⊙O上，CD是⊙O₁与⊙O₂的内公切线，⊙O₁与⊙O₂相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：P是ΔABC的内心。

4．ΔABC内有两点M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求证：

5．ΔABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。

6．设点I，H分别是锐角ΔABC的内心和垂心，点B₁，C₁分别是边AC，AB的中点，已知射线B₁I交边AB于点B₂(B₂≠B)，射线C₁I交AC的延长线于点C₂，B₂C₂与BC相交于点K，A₁为ΔBHC的外心。试证：A，I，A₁三点共线的充要条件是ΔBKB₂和ΔCKC₂的面积相等。

7．已知点A₁，B₁，C₁，点A₂，B₂，C₂，分别在直线l₁,l₂上 ，B₂C₁交B₁C₂于点M，C₁A₂交A₁C₂于点N，B₁A₂交B₂A₁于L。求证：M，N，L三点共线。

8．ΔABC中，∠C=90⁰，∠A=30⁰，BC=1，求ΔABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。

9．ΔABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。