2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题

2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题

（2008年4月27日  下午1：00—3：00）

题　号	一	二	三				总分
	1－6	7－12	13	14	15	16
得　分
评卷人
复查人

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．

2．解答书写时不要超过装订线．

3．草稿纸不上交．

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是(　　  )

（A）7.5秒          （B）6秒     　  （C）5秒　        （D）4秒

解：答案：【D】

设高速列车和普通列车的车速分别为x米/秒和y米/秒，则 ，

所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是：80÷20=4(秒)

2．将一张边长分别为a，b 的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为(　　   )

（A）       （B）

（C）   　  （D）

解：答案：【A】

(第3题)

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

3．如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，黑、白

两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱

向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA₁→A₁D₁→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB₁→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第 条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（      ）

       （A）0          （B）1         （C）         （D）

解：答案：【C】

黑甲壳虫爬行的路径为：

白甲壳虫爬行的路径为：

黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C，白甲壳虫停在点D₁，因此

4．设m，n是正整数，满足m＋n＞mn，给出以下四个结论：① m，n都不等于1； ② m，n都不等于2；③ m，n都大于1；④ m，n至少有一个等于1．其中正确的结论是（    　）

（A）①         （B）②        （C）③ 　      （D）④

解：答案：【D】

由 ，得 ，因m，n是正整数，所以 ，

即

水平线

第一层

第二层

第三层

第四层

（第5题）

5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高

点到水平线的距离为（      ）

（A） 　 （B）  

（C）    （D）2

解：答案：【C】

设第n层的最高点到水平线的距离记为：

由题意，得

把这10条式子左右相加，得

       

6．有10条不同的直线 （n = 1，2，3，…，10），其中 ， ，则这10条直线的交点个数最多有（      ）

（A）45个      （B）40个     （C）39个     （D）31个

解：答案：【B】

如图，满足已知条件的6条直线至多有10个交点，增加一条直线与

这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7条直线最多有7个

交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个

交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个)

 

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

7．在平行四边形 的边AB和AD上分别取点E和F，

使 ， ，连结EF交对角线AC于G，则 的值是                 ．

解：答案：

如图，

8．如图所示，一个半径为 的圆过一个半径为2的圆的圆心，

则图中阴影部分的面积为                  ．

解：答案：2

连结OO₁， AB，则有OO₁⊥AB于点P，在

，

即点O₁在AB上与点P重合，易知AB是圆O₁的直径，三角形ABO是直角三角形.

（第8题）

·

·

所以

9．已知y= ，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，

那么实数x的取值范围是                  ．

解：答案：

由 ，

当1≤m≤3时，

所以，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，即 时， x的取值范围是 .

10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为 ， ， ．例如，输入

1，2，3，则输出 ， ， . 那么当输出的新数为 ， ， 时，输入的3个数依次为           ．

转换器

x，y，z

， ,

输入

输出

（第10题）

 

 

 

解：答案：

11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过　                 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．

解：答案：45

记 张卡片至多经过 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则

           所以

12．设整数a使得关于x的一元二次方程 的两个根都是整数，则a的值是      ．

解：答案：18.

由题意，得

即

因为

且

故

解得，只有 符合题意。即所求a的值是18.

 

三、解答题（共4小题，满分54分）

13．（本题满分12分）

已知正三角形ABC，AB = a，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度作

直线运动，且点P沿射线AB方向运动，点Q沿射线BC方向运动. 设AP的长为x，△PCQ的面积为S，

（1）求S关于x的函数关系式；

（2）当AP的长为多少时？△PCQ的面积和△ABC的面积相等.

解：(1) 如图，

(2)因为

根据题意，若 ，则

当 时，有

即 ，解得，此方程无实根；

当 时，有

即

解得， (舍去)

所以，当 时，△PCQ的面积和△ABC的面积相等。

 

14．（本题满分12分）

 

E

F

D

B

A

C

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE＝AD，BE=BC，过E作EF∥BC 交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明 的理由．

解：如图，过E作MN//CD，交直线DA，BC于点M，N，过点P作PQ//BC，

交AB于点Q，则MD=EF=NC。

由

由

因为

而

 所以 ，即

 

15．（本题满分14分）

 

设二次函数 ，当x = c时，y = 0；当0＜x＜c时， ．

（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；

（2）当x＞0时，求证： ．

解：(1)当x = c时，y = 0，即 ，又c>1，所以

设一元二次方程 两个实根为

 由 ，及x = c>1，得 

又因为当0＜x＜c时， ，所以 ，

于是二次函数 的对称轴：  即

所以  即

(2)因为0＜x=1＜c时， ，所以

由 及 得：

因为

而 ， ， ，

所以当x＞0时， ，即

 

16．（本题满分16分）

有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局．如果其中有3个人X、Y、Z，比赛结果为X胜Y，Y胜Z，Z胜X，那么我们称X、Y、Z构成一个“圈”．求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值．

解：略