《三角形综合》
例题1:AD,EF,BC相交于O点,且AO=OD,BO=OC,EO=OF.求证:△AEB≌△DFC
例题2:P为正方形ABCD对角线BD上任一点,PF⊥DC,PE⊥BC.求证:AP⊥EF.
例题3:△ABC的高AD与BE相交于H,且BH=AC.求证:∠BCH=∠ABC.
例题4:在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD边上的点,∠PAQ=45°.
求证:PQ=PB+DQ.
例题5:过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线,AD⊥BD于D,AE⊥CE于E.求证:ED∥BC.
例题6:如图,P是等边三角形ABC内部的一点,PA=2,PB=,PC=4,求ΔABC的边长.
例题7:如图(l),凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α。且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.
(l)在图(3)正方形ABCD内画一个半等角点P,且满足α≠β。
(2)在图(4)四边形ABCD中画出一个半等角点P,保留画图痕迹(不需写出画法).
(3)若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2(如图(2)),证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。
例题8:已知:点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。
(1)如图1,若点O在BC上,求证:AB=AC;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画图表示。
练习试题:
1.如图,在中,和的平分线相交于点,过点作交于,交于,过点作于.下列四个结论:
;
②以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切;
③设则;
④不能成为的中位线.
其中正确的结论是_____________.(把你认为正确结论的序号都填上)
2.如图1,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,、和分别表示△DNC、△DAC、△DBC的面积。当AB∥CD时,有=(1)
(1)如图2,若图1中AB与CD不平行时,(1)式是否成立?请说明理由。
(2)如图3,若图1中AB与CD相交于点O时,、和有何种相等关系?试证明你的结论。
3.如图,设△ABC和△CDE都是正三角形,且∠EBD=62o,则∠AEB的度数是【】
(A)124o (B)122o (C)120o (D)118o
4.如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延长线上一点,N是CA延长线上一点,且∠MDN=60°.试探究MB、MN、CN之间的数量关系,并给出证明.
5.如图,在△ABC中,∠ABC=600,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=_____________
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,,则__________
7.(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;
(2)如图8,ΔOAB固定不动,保持ΔOCD的形状和大小不变,将ΔOCD绕着点O旋转(ΔOAB和ΔOCD不能重叠),求∠AEB的大小.
8.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,在同一条直线上,连结.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:.
9.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD=∠ACD②∠BAD=∠CAD,③AB+BD=AC+CD④AB-BD=AC-CD
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