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斐波那契—卢卡斯数列与广义斐波那契数列
斐波那契—卢卡斯数列
卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。(我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1) + f(n-2)）。 这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n)，及L（n）=F（n-1）+F(n+1) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
斐波那契数列F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
卢卡斯数列L(n) 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
F(n)*L(n) 1 3 8 21 55 144 377 987 2584 6765 …
类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。 如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。 如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，?F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1)， ?n 1? ?2 ?3 4? 5? 6 7 8 9 10 …
F[1,4]n 1 4 5 9 14 23 37 60 97 157 …
F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
F[1,4]n-F[1,3]n 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,4]n+F[1,3]n ?2 ?7 9? ?16 ?25 ?41 ?66 ?107 ?173 ?280 …?
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如 ?n 1? ?2 ?3 4? 5? 6 7 8 9 10 …
F[1,1](n) 1 1 2 3 5 8 13 31 34 55 …
F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,1](n-1) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
F[1,3]n 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 …
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值， 斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1 卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5 F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11 F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11 F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31 斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。 而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩儿数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种特征值称为勾股特征）。 佩尔数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1). 据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则:f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。 当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。 当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的直角三角形有关的数列集合）。 当p=-1，q=2时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到自然数列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为自然特征）。 具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义斐波那契数列p=±1。 当f1=1，f2=2，p=2，q=1时，我们得到等比数列1，2，4，8，16……
编辑本段斐波那契数列与黄金比
1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...
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